4.3.1 Érosion

La transformation par érosion est la première à avoir été proposée; c'est d'ailleurs la plus importante avec la dilatation. Pour définir intuitivement l'opération d'érosion, situons-nous dans l'espace euclidien $\mathbb {R}$² partiellement occupé par un ensemble X. Prenons un élément structurant B représentant une figure géométrique simple, par exemple un disque. Cet élément B_z est repéré par son centre et placé en z dans l'espace $\mathbb {R}$². Il est ensuite déplacé de telle sorte que son centre occupe successivement toutes les positions de l'espace. Pour chacune de ces positions, la question suivante est posée: l'ensemble B est-il entièrement inclus dans l'ensemble X ( B_z $\subseteq$ X) pour cette position de z? L'ensemble des z fournissant une réponse positive forme un nouvel ensemble appelé érosion de X par B et noté X $\ominus$ B.

Définition 11   Érosion morphologique

$$\ominus \in \mathcal {E} \subseteq$$ (4.1)

La notion d'érosion correspond à la notion de soustraction introduite précédemment; par ailleurs, on montre aisément que la définition suivante, de forme plus algébrique, fournit le même résultat

Définition 12  

$$\ominus \bigcap_{{b\in B}}^{}$$ (4.2)

Ce qui signifie que la transformation par érosion d'un ensemble X par B s'obtient en translatant X par l'opposé de chaque élément de B et en ne conservant que les points appartenant à toutes les translations de X. La figure  illustre cette formulation algébrique. Avec cette interprétation, il est clair que si la taille de B dépasse celle de X, l'ensemble X érodé par B est vide.

Figure 4.3: Interprétation algébrique de l'érosion.

 

Parfois l'opération d'érosion est définie comme la soustraction d'ensembles où B a préalablement subi une symétrie centrale autour de l'origine (cf. SERRA [32]), dans le but d'accroître le formalisme de dualité inhérent à la plupart des transformées morphologiques.

L'opération d'érosion est illustrée par la figure 4.4. On voit que le petite composante de X a disparu; en effet, elle ne peut contenir le disque B. Les effets habituels de l'érosion sont: la séparation des objets au droit des étranglements, le rétrécissement des objets de taille supérieure à B et la disparition des petites composantes.

Figure 4.4: Érosion de X par un disque B. L'origine de l'élément structurant est représentée par un point noir.