Table des matières of 4.3.2 Dilatation

L'opération de dilatation, appelée dilation en anglais, due à MINKOWSKI se définit de manière analogue. En prenant le même élément structurant B, pour chaque position z du centre de B la question est: l'ensemble B_z touche-t-il X (X $\cap$ B_z $\not=$ $\phi$ )? L'ensemble des points de $\mathcal {E}$ correspondant à une réponse positive forme le nouvel ensemble X $\oplus$ $\check{{B}}$ -l'ensemble $\check{{B}}$ s'obtient par réflexion de l'ensemble B autour de l'origine- dont la frontière est le lieu des centres géométriques de B_z lorsque B_z touche X.

Définition 13 En termes ensemblistes, la dilatation est l'union d'ensembles translatés:

X $\displaystyle \oplus$ B = $\displaystyle \bigcup_{{b\in B}}^{}$ X_b = $\displaystyle \bigcup_{{x\in X}}^{}$ B_x = {x + b| x $\displaystyle \in$ X, b $\displaystyle \in$ B}

(4.3)

Le principe de la dilatation, à savoir l'union des translatés de X par les éléments de B, est illustré à la figure 4.5.

**Figure 4.5:** Illustration de la définition algébrique de la dilatation.

La figure 4.6 montre la dilatation par un disque du même ensemble X que celui traité lors de l'érosion. Dans cet exemple, les deux composantes connexes ^4.1 sont réunies dans le dilaté; tout comme l'érosion, la dilation ne préserve pas la connexité.

**Figure 4.6:** Dilatation de X par un disque B.

Propriété 14 [Dualité] La transformation de dilatation n'est pas indépendante de l'opération d'érosion. Éroder X revient à dilater son complémentaire X^c. Les opérations de dilatation et d'érosion sont donc deux opérations duales par rapport à la complémentation:

X $\displaystyle \ominus$ $\displaystyle \check{{B}}$ = (X^c $\displaystyle \oplus$ B)^c

(4.4)

X $\displaystyle \ominus$ B = (X^c $\displaystyle \oplus$ $\displaystyle \check{{B}}$ )^c

(4.5)

Avec nos définitions d'érosion et de dilatation, la présence du symétrique de B est inévitable. C'est pour l'éviter que certains auteurs adoptent parfois une autre définition de l'érosion.

L'exploitation de cette propriété permet bien souvent de transposer le travail fait pour une érosion à celui d'une dilatation et vice-versa. De plus, la pratique favorise l'emploi d'éléments symétriques, d'où découle une forme simplifiée du principe de dualité par complémentation.

4.3.2.1 Propriétés des opérations d'érosion et de dilatation

Les opérations d'érosion et de dilatation vérifient les principes des transformations morphologiques idéales:

l'érosion et la dilatation sont invariantes en translation: de fait, il revient au même de translater un ensemble X puis de l'éroder, que de l'éroder puis de translater l'image transformée: X_z $\ominus$ B = (X $\ominus$ B)_z. De même, X_z $\oplus$ B = (X $\oplus$ B)_z;
l'érosion et la dilatation sont compatibles avec les homothéties: $\lambda$ X $\ominus$ $\lambda$ B = $\lambda$ (X $\ominus$ B) et $\lambda$ X $\oplus$ $\lambda$ B = $\lambda$ (X $\oplus$ B);
l'érosion et la dilatation vérifient la condition de connaissance locale pour B borné;
nous admettrons sans démonstration que l'érosion et la dilatation sont des transformations continues. Pour une démonstration rigoureuse, le lecteur consultera par exemple l'ouvrage de SERRA [32]. Dans la pratique, la mathématique morphologique s'utilise sur des images discrétisées; la discrétisation escamote considérablement les problèmes de continuité.

Les deux opérations morphologiques jouissent aussi de propriétés algébriques:

l'érosion et la dilatation sont des opérations croissantes: si X $\subseteq$ Y, alors (X $\ominus$ B) $\subseteq$ (Y $\ominus$ B) et (X $\oplus$ B) $\subseteq$ (Y $\oplus$ B);
si l'élément structurant contient l'origine, l'érosion est une opération anti-extensive alors que la dilatation est extensive, c.-à-d. X $\ominus$ B $\subseteq$ X et X $\subseteq$ X $\oplus$ B.

Notes

...^4.1: Un ensemble X est connexe si $\forall$ x₁, x₂ $\in$ X , il existe un chemin reliant x₁ à x₂ totalement inclus dans X.