Table des matières of 4.6.3 Érosion, dilatation et combinaisons

4.6.3.1 En pratique

4.6.3 Érosion, dilatation et combinaisons

Nous disposons à présent des éléments de théorie nécessaires à la définition des opérations morphologiques sur des images en niveaux de gris, étudiées ici sous l'angle des fonctions.

Définition 36 Si f et g sont deux fonctions, on peut définir l'addition (ou dilatation) f $\oplus$ g et la soustraction (ou érosion) f $\ominus$ g de la manière suivante: pour tout couple (x, g(x)), on prend pour f $\oplus$ g l'enveloppe supérieure des translatés du graphe de f par les (x, g(x)) et pour f $\ominus$ g, l'enveloppe inférieure des translatés de f par les (- x, - g(x)). Algébriquement,

f $\displaystyle \oplus$ g	=	$\displaystyle \bigvee_{{h\in\mathcal{E}}}^{}$ (f (x - h) + g(h))	(4.44)
f $\displaystyle \ominus$ g	=	$\displaystyle \bigwedge_{{h\in\mathcal{E}}}^{}$ (f (x + h) - g(h))	(4.45)

(N.B. À nouveau, les travaux de SERRA et MATHERON couvrent une définition de f $\ominus$ g légèrement différente).

Il est d'usage de choisir une fonction structurante g prenant des valeurs finies sur un support compact (c'-à-d. borné et fermé) D et valant - $\infty$ ailleurs. La littérature fournit classiquement une interprétation géométrique de ces opérations en recourant à la notion d'ombre. L'ombre d'une fonction f est le sous-ensemble U(t) de l'espace $\mathcal {E}$ × $\mathcal {G}$ tel que

U(f )= {(x, t) $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathcal {E}$ × $\displaystyle \mathcal {G}$ | t $\displaystyle \leq$ f (x)}

(4.46)

En termes d'ombres, f $\oplus$ g et f $\ominus$ g sont les enveloppes supérieures respectives de U(f ) $\oplus$ U(g) et de U(f ) $\ominus$ U(g) où $\oplus$ , $\ominus$ sont les opérations ensemblistes d'addition et de soustraction originales.

4.6.3.1 En pratique

Telles quelles, les définitions ne se prêtent guère à une réalisation par logiciel ou par matériel; les algorithmes tirés des définitions sont de complexité proportionnelle au cube de la taille de la fonction structurante.

Dans la pratique, on utilise non pas une fonction g comme fonction structurante mais une fonction dégénérée binaire valant 0 à l'intérieur d'un petit masque et - $\infty$ ailleurs, auquel cas g se ramène à un ensemble B. Soit B, la partie du domaine de g où le signal est nul (ailleurs, il vaut - $\infty$ ), les définitions deviennent:

Définition 37

f $\displaystyle \oplus$ B	=	$\displaystyle \bigvee_{{b\in B}}^{}$ f_b(x)	(4.47)
f $\displaystyle \ominus$ B	=	$\displaystyle \bigwedge_{{b\in B}}^{}$ f_-b(x)	(4.48)

L'opération d'érosion est illustrée à la figure 4.13.

**Figure 4.13:** Érosion d'une fonction.

Par commodité, nous assimilerons D à B sans faire la distinction entre le support non infini négatif ou le domaine de définition.

Avec des éléments structurants plans, une dilatation se calcule comme l'enveloppe supérieure de tous les translatés de la fonction par les éléments de l'élément structurant. Soit à calculer par exemple le dilaté d'une fonction par un élément structurant B = { -1, 0, 1}. L'enveloppe supérieure se détermine à partir des trois fonctions f_-1(x), f (x) et f₁(x), ce qui revient à chercher le maximum entre ces trois fonctions pour chaque point. C'est donc une traduction de la notion d'enveloppe supérieure sur un jeu de translatés par la recherche du maximum sur le voisinage du point en question. Quant à l'érosion, elle devient équivalente à la recherche du minimum, opération simple à réaliser.

**Figure 4.14:** Érosions successives par des carrés de taille croissante.

**Figure 4.15:** Dilatations successives par des carrés de taille croissante.