Table des matières of 5.2.1 Filtres de rang

L'érosion ou la dilatation correspondent à la sélection des valeurs extrêmes puisqu'il s'agit de déterminer l'infimum ou le supremum. Ce type d'opérations est donc très sensible au bruit, particulièrement à un bruit impulsionnel. On songe donc tout naturellement à considérer d'autres valeurs que ces valeurs extrêmes dans l'espoir de diminuer la sensibilité au bruit; c'est la notion de filtre de rang^5.1 qui s'en dégage.

Prenons un élément structurant B fini servant de domaine de définition. Soit k $\in$ $\mathbb {N}$ la valeur d'un seuil.

Définition 44 [Filtre de rang] L'opérateur ou filtre de rang k, noté $\rho_{{B,k}}^{}$ (f )(x), défini sur l'élément structurant B, est l'opérateur

$\displaystyle \rho_{{B,k}}^{}$ (f )(x) = $\displaystyle \bigvee$ {t $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathcal {G}$ | $\displaystyle \sum_{{b\in B}}^{}$ [f (x + b) $\displaystyle \geq$ t] $\displaystyle \geq$ k}

(5.1)

Les opérateurs de rang sont ordonnés entre eux. En effet, soit $\sharp$ (B) le cardinal de l'élément structurant B,

$\displaystyle \rho_{{B,\sharp({B})}}^{}$ (f )(x) $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \rho_{{B,\sharp({B})-1}}^{}$ (f )(x) $\displaystyle \leq$ ... $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \rho_{{B,1}}^{}$ (f )(x)

(5.2)

5.2.1.1 Filtre médian

Si n est impair, le choix k = ${\frac{{1}}{{2}}}$ ( $\sharp$ (B) + 1) conduit à la définition d'un opérateur auto-dual, c'est-à-dire que l'opérateur appliqué à une image fournit le même résultat que l'opérateur appliqué à l'image complémentaire. Cet opérateur, noté med_B, est appelé filtre médian . On doit sa découverte à TUKEY.

Le filtrage médian est une technique de filtrage non-linéaire couramment utilisée en pratique. Il s'avère particulièrement efficace pour juguler les effets d'un bruit impulsionnel. Sa caractéristique essentielle est sa capacité à conserver des transitions fortes tout en supprimant une partie importante du bruit.

La figure 5.1 compare quelques opérations de filtrage. De même, la figure 5.2 montre l'effet d'un changement de la taille de la fenêtre sur la qualité de l'image filtrée.

Figure 5.1: Comparaison de différentes techniques de filtrage sur une image bruitée.


(a) Image originale bruitée f	(b) Ouverture par un carré 5×5


(c) Passe-bas BUTTERWORTH (f_c = 50)	(d) Médian sur une fenêtre 5×5

Figure 5.2: Effet de la taille de la fenêtre rectangulaire sur le filtrage.


(a) Image originale f		(b) Médian 3×3		(b) Médian 5×5

5.2.1.2 Implémentation

Un moyen commode pour implémenter les filtres de rang consiste à utiliser un histogramme local glissant. Cet histogramme est mis à jour à chaque déplacement et une lecture de cet histogramme suffit à fournir le résultat.

Remarquons au passage que le filtre médian n'est pas idempotent et sa répétition peut entraîner des phénomènes d'oscillation (théoriquement sur une image de support infini). La figure 5.3 illustre le phénomène d'oscillations par applications successives de l'opérateur.

**Figure 5.3:** Applications répétées du filtre médian.

5.2.1 Filtres de rang

5.2.1.1 Filtre médian

5.2.1.2 Implémentation

Notes