5.3.2 Comment construire un filtre?

En combinant les filtres déjà connus! Mais toutes les combinaisons ne sont pas permises: par exemple, la composition de deux ouvertures n'est ni une ouverture ni un filtre, comme le montre la figure 5.5. Dans cet exemple, une nouvelle application donnera un ensemble vide et la propriété d'idempotence ne sera pas satisfaite.

Figure 5.5: La composition de deux ouvertures n'est pas forcément une ouverture.
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De nouveaux filtres peuvent être obtenus à partir des ouvertures, notées $ \gamma_{{i}}^{}$ dans cette section, et des fermetures, notées $ \phi_{{i}}^{}$, par les deux règles simples que voici:

  1. le supremum d'ouvertures est une ouverture: ($ \bigvee_{{i}}^{}$$ \gamma_{{i}}^{}$) est une ouverture; 
  2. l'infimum de deux fermetures est une fermeture: ($ \bigwedge_{{i}}^{}$$ \phi_{{i}}^{}$) est une fermeture.
Certaines compositions de filtres permettent aussi d'obtenir des nouveaux filtres. Soient $ \psi_{{1}}^{}$ et $ \psi_{{2}}^{}$ deux filtres tels que $ \psi_{{1}}^{}$ $ \geq$ I $ \geq$ $ \psi_{{2}}^{}$ (par exemple, $ \psi_{{1}}^{}$ est une fermeture et $ \psi_{{2}}^{}$ une ouverture). Le théorème structurel définit quelles compositions sont des filtres et établit l'ordre des opérateurs.

Théorème 48   [Théorème structurel] Soient $ \psi_{{1}}^{}$ et $ \psi_{{2}}^{}$ deux filtres tels que $ \psi_{{1}}^{}$ $ \geq$ I $ \geq$ $ \psi_{{2}}^{}$

$\displaystyle \psi_{{1}}^{}$ $\displaystyle \geq$ $\displaystyle \psi_{{1}}^{}$$\displaystyle \psi_{{2}}^{}$$\displaystyle \psi_{{1}}^{}$ $\displaystyle \geq$ ($\displaystyle \psi_{{2}}^{}$$\displaystyle \psi_{{1}}^{}$ $\displaystyle \vee$ $\displaystyle \psi_{{1}}^{}$$\displaystyle \psi_{{2}}^{}$) $\displaystyle \geq$ ($\displaystyle \psi_{{2}}^{}$$\displaystyle \psi_{{1}}^{}$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \psi_{{1}}^{}$$\displaystyle \psi_{{2}}^{}$) $\displaystyle \geq$ $\displaystyle \psi_{{2}}^{}$$\displaystyle \psi_{{1}}^{}$$\displaystyle \psi_{{2}}^{}$ $\displaystyle \geq$ $\displaystyle \psi_{{2}}^{}$ (5.10)

$\displaystyle \psi_{{1}}^{}$$\displaystyle \psi_{{2}}^{}$, $\displaystyle \psi_{{2}}^{}$$\displaystyle \psi_{{1}}^{}$, $\displaystyle \psi_{{1}}^{}$$\displaystyle \psi_{{2}}^{}$$\displaystyle \psi_{{1}}^{}$, $\displaystyle \psi_{{2}}^{}$$\displaystyle \psi_{{1}}^{}$$\displaystyle \psi_{{2}}^{}$ sont  des  filtres (5.11)

Remarquons qu'il n'y a pas de relation d'ordre entre $ \psi_{{1}}^{}$$ \psi_{{2}}^{}$ et $ \psi_{{2}}^{}$$ \psi_{{1}}^{}$.

Marc Van Droogenbroeck. Tous droits réservés.
2003-09-30