6.1.1 Opérateurs basés sur le calcul de la dérivée

Le but d'un opérateur d'extraction de contours est de fournir, en réponse à son application sur une image I₁, une image I₂ à fortes variations aux différents endroits où I₁ présente des contours. Un opérateur répondant à ce critère est, sans conteste, l'opérateur différentiel ou dérivée. Deux choix usuels s'offrent à nous:

1. Si l'on se place dans le contexte d'une fonction continue f (x) à une dimension, sa dérivée f'(x) est maximale (en valeur absolue) aux différents endroits où f (x) présente de fortes variations; cette valeur maximale étant d'autant plus grande que la variation de f est importante sur une courte distance.
2. La dérivée seconde f''(x) présente, quant à elle, un passage par zéro aux différents endroits où f (x) contient de fortes variations.

L'opérateur dérivée (première ou seconde) est linéaire et peut être vu comme un filtre. Nous verrons plus loin que le filtre dérivée est un filtre du type passe-haut. L'application de l'opérateur dérivée impliquera donc un très net effet accentuateur des hautes fréquences.

Le problème majeur que l'on rencontre en pratique est qu'une image n'est pas une fonction continue. Il n'est donc pas possible d'en calculer la dérivée exacte; on peut tout juste l'approximer par différentes formules. D'autre part, l'effet accentuateur des hautes fréquences, inhérent à l'opérateur de dérivée, entraîne une amplification du bruit.

On est donc face à un double problème:

• approximer au mieux la dérivée et
• éviter une amplification excessive du bruit; cette amplification est malheureusement intrinsèque à l'utilisation d'un opérateur dérivé. L'effet d'amplification du bruit est illustré à la figure 6.3.

Figure 6.3: Images (à gauche) et gradients respectifs (à droite).