7.4.5 Seconde phase: détection par maximum de vraisemblance

Le signal reçu durant l'intervalle de temps T est

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} g_{0}(t)+n(t), & 0\leq t\leq... ...), & 0\leq t\leq T & \,\,\,\textrm{pour un signal binaire }1\end{array}}\right. \begin{array}{lll} g_{0}(t)+n(t), & 0\leq t\leq T & \,\,\,\textrm... ...}(t)+n(t), & 0\leq t\leq T & \,\,\,\textrm{pour un signal binaire }1\end{array}$$ (7.94)

Pour notre étude, considérons un signal NRZ, g₀(t) = - V et g₁(t) = + V.

Comme in fine le récepteur doit estimer quel signal a été reçu, il peut y avoir deux types d'erreur au moment de prendre une décision

1. Sélectionner le symbole 1 alors qu'on a transmis le symbole 0; c'est l'erreur de type 1.
2. Sélectionner le symbole 0 alors qu'on a transmis le symbole 1; c'est l'erreur de type 2.

Pour déterminer le taux d'erreur durant la transmission, il faut examiner distinctement le cas de chaque symbole transmis. Dans le cas binaire, l'analyse revient à considérer l'émission du symbole g₀(t) ou g₁(t).

7.4.5.1 Probabilité d'erreur lors de l'envoi du signal NRZ g₀(t)

Supposons que l'on ait transmis un symbole 0, autrement dit le signal g₀(t) = - V pour 0 $\leq$ t $\leq$ T_b. Le signal reçu au récepteur est alors

$$\leq \leq$$ (7.95)

où T_b est la durée d'un bit.

Dès lors, la sortie du filtre adapté ou corrélateur est

$$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \tau \tau \tau$$ y(t) = (7.96)

$$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \tau \tau \tau$$ = (7.97)

$$\int_{{0}}^{{T_{b}}} \tau \tau \int_{{0}}^{{T_{b}}} \tau \tau \tau$$ = (7.98)

En t = T_b,

$$\int_{{0}}^{{T_{b}}} \tau \tau \int_{{0}}^{{T_{b}}} \tau \tau \tau$$ y[T_b] = (7.99)

$$\int_{{0}}^{{T_{b}}} \tau \tau$$ = (7.100)

Pour un gain k = - 1/VT_b,

$${\frac{{1}}{{T_{b}}}} \int_{{0}}^{{T_{b}}} \tau \tau$$ (7.101)

Remarquons qu'il s'agit de la réalisation d'une variable aléatoire Y échantillonnée au temps t = T_b. Moyennant l'hypothèse d'un bruit additif blanc et gaussien n(t), la variable aléatoire Y jouit des caractéristiques suivantes:

• Y est une variable aléatoire gaussienne de moyenne égale à - V
• la variance de la variable aléatoire Y vaut
  

  $$\sigma_{{Y}}^{{2}} \left\{\vphantom{ (Y+V)^{2}}\right. \left.\vphantom{ (Y+V)^{2}}\right\}$$ = (7.102)

  $${\frac{{1}}{{T_{b}^{2}}}} \left\{\vphantom{ \int_{0}^{T_{b}}\int_{0}^{T_{b}}n(t)n(u)dtdu}\right. \int_{{0}}^{{T_{b}}} \int_{{0}}^{{T_{b}}} \left.\vphantom{ \int_{0}^{T_{b}}\int_{0}^{T_{b}}n(t)n(u)dtdu}\right\}$$ = (7.103)

  $${\frac{{1}}{{T_{b}^{2}}}} \int_{{0}}^{{T_{b}}} \int_{{0}}^{{T_{b}}}$$ = (7.104)

  $${\frac{{1}}{{T_{b}^{2}}}} \int_{{0}}^{{T_{b}}} \int_{{0}}^{{T_{b}}} \Gamma_{{NN}}^{} \left(\vphantom{t,u}\right. \left.\vphantom{t,u}\right)$$ = (7.105)

  
  

La fonction d'autocorrélation $\Gamma_{{NN}}^{}$$\left(\vphantom{t,u}\right.$t, u$\left.\vphantom{t,u}\right)$ du bruit blanc gaussien est par hypothèse sur la nature de ce bruit une impulsion de DIRAC

$$\Gamma_{{NN}}^{} \left(\vphantom{t,u}\right. \left.\vphantom{t,u}\right) {\frac{{N_{0}}}{{2}}} \delta$$ (7.106)

Après substitution de cette valeur dans l'équation 7.105,

$$\sigma_{{Y}}^{{2}} {\frac{{1}}{{T_{b}^{2}}}} \int_{{0}}^{{T_{b}}} \int_{{0}}^{{T_{b}}} {\frac{{N_{0}}}{{2}}} \delta$$ = (7.107)

$${\frac{{N_{0}}}{{2T_{b}}}}$$ = (7.108)

Et donc, la fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire Y après transmission du symbole 0 vaut

$${\frac{{1}}{{\sqrt{\pi N_{0}/T_{b}}}}} {\frac{{(y+V)^{2}}}{{N_{0}/T_{b}}}}$$ (7.109)

Soit P_e0 la probabilité d'erreur conditionnelle tenant compte de l'émission du symbole 0. En l'absence de bruit, la sortie du filtre adapté fourni - V au temps d'échantillonnage t = T_b. La situation est tout autre en présence de bruit. En effet, la réalisation y(t) prend des valeurs tantôt supérieure, tantôt inférieure à - V. À la limite, le bruit est tel que le signal se rapproche de la valeur + V relative au symbole 1, ce qu'il faut éviter. Si l'on définit un seuil $\lambda$ de décision situé entre - V et + V, il y aura erreur sur le symbole 0 si la variable aléatoire dépasse la valeur de ce seuil. Formellement, on écrit

$$\lambda$$ P_e0 = (7.110)

$$\int_{{\lambda}}^{{+\infty}}$$ = (7.111)

$${\frac{{1}}{{\sqrt{\pi N_{0}/T_{b}}}}} \int_{{\lambda}}^{{+\infty}} {\frac{{(y+V)^{2}}}{{N_{0}/T_{b}}}}$$ = (7.112)

Pour poursuivre, il faut fixer la valeur du seuil $\lambda$. Une telle détermination se fonde sur la probabilité a priori des symboles 0 et 1, notées respectivement p₀ et p₁. En prenant des probabilités égales telles que p₀ + p₁ = 1,

$${\frac{{1}}{{2}}}$$ (7.113)

Dans le cas que nous traitons, les valeurs de crête des deux symboles sont équidistantes par rapport à l'origine le long de l'axe y. Il est dès lors logique de prendre

$$\lambda$$ (7.114)

Cela nous permet de poursuivre le calcul de la probabilité conditionnelle; P_e0 devient

$${\frac{{1}}{{\sqrt{\pi N_{0}/T_{b}}}}} \int_{{0}}^{{+\infty}} {\frac{{(y+V)^{2}}}{{N_{0}/T_{b}}}}$$ (7.115)

Après le changement de variable z = ${\frac{{y+V}}{{\sqrt{N_{0}/T_{b}}}}}$, on obtient

$${\frac{{1}}{{\sqrt{\pi}}}} \int_{{\sqrt{E_{b}/N_{0}}}}^{{+\infty}}$$ (7.116)

où E_b est l'énergie transmise par bit telle que calculée par (cf. définition 79, page )

E_b = V²T_b (7.117)

Il est pratique d'introduire la fonction d'erreur complémentaire; elle est définie par

$${\frac{{2}}{{\sqrt{\pi}}}} \int_{{u}}^{{+\infty}}$$ (7.118)

Grâce à cette fonction, on obtient

$${\frac{{1}}{{2}}} \left(\vphantom{\sqrt{\frac{E_{b}}{N_{0}}}}\right. \sqrt{{\frac{E_{b}}{N_{0}}}} \left.\vphantom{\sqrt{\frac{E_{b}}{N_{0}}}}\right)$$ (7.119)

La densité de probabilité f_Y(y| 0) et la probabilité d'erreur P_e0 sont représentées à la figure 7.8(a).

Figure 7.8: Forme des densités de probabilités f_Y(y| 0), f_Y(y| 1) et probabilités d'erreur.

 

7.4.5.2 Probabilité d'erreur lors de l'envoi du signal NRZ g₁(t)

Supposons à présent que ce soit le signal g₁(t) qui ait été envoyé. Un raisonnement similaire au précédent conduit rapidement à

$${\frac{{1}}{{\sqrt{\pi N_{0}/T_{b}}}}} {\frac{{(y-V)^{2}}}{{N_{0}/T_{b}}}}$$ (7.120)

On note par P_e1 la probabilité d'erreur conditionnelle après émission du symbole 1. Son expression est

$$\lambda$$ P_e1 = (7.121)

$$\int_{{-\infty}}^{{\lambda}}$$ = (7.122)

$${\frac{{1}}{{\sqrt{\pi N_{0}/T_{b}}}}} \int_{{-\infty}}^{{\lambda}} {\frac{{(y-V)^{2}}}{{N_{0}/T_{b}}}}$$ = (7.123)

En opérant le changement de variable - z = ${\frac{{y-V}}{{\sqrt{N_{0}/T_{b}}}}}$, on remarque que P_e0 = P_e1.

Les deux densités de probabilité sont représentées à la figure 7.9.

Figure 7.9: Densités de probabilité conditionnelles.

 

7.4.5.3 Probabilité d'erreur moyenne

Pour déterminer la probabilité d'erreur au récepteur, on note que les deux types d'erreur énoncés précédemment sont exclusifs. On définit une probabilité d'erreur moyenne au récepteur P_e en pondérant les erreurs respectives par les probabilités a priori des signaux à l'émetteur

P_e = p₀P_e0 + p₁P_e1 (7.124)

Dans notre cas, on en déduit la valeur suivante

$${\frac{{1}}{{2}}} \left(\vphantom{\sqrt{\frac{E_{b}}{N_{0}}}}\right. \sqrt{{\frac{E_{b}}{N_{0}}}} \left.\vphantom{\sqrt{\frac{E_{b}}{N_{0}}}}\right)$$ (7.125)

Cette grandeur est généralement appelée taux d'erreur sur bit ou Bit Error Rate (BER).

Le taux d'erreur moyen d'un système PCM à deux états opposés dépend donc exclusivement du rapport entre l'énergie transmise par bit et la densité spectrale de bruit; la courbe est dessinée à la figure 7.10.

Figure 7.10: Taux d'erreur pour un codage en ligne de type NRZ bipolaire.

 

Comme il n'est pas possible d'agir sur la valeur de la puissance de bruit N₀, diminuer la probabilité d'erreur ne pourra se faire que par l'augmentation de E_b. Puisque E_b = V²T_b, il faudrait donc augmenter V -du moins quand ce degré de liberté existe- ou ralentir la cadence d'émission.

En pratique, on recourt à une autre technique, en l'occurrence à celle des codes détecteurs ou correcteurs d'erreur qui diminue le taux d'erreur mais qui présente l'inconvénient d'élargir la bande de base à même débit utile d'information.