8.2.2 Variable aléatoire de POISSON: définition et propriétés

Le développement précédent présuppose une durée particulière $\triangle$T . Il est intéressant d'examiner le comportement lorsque m $\rightarrow$ + $\infty$ , c'est-à-dire lorsque $\triangle$T $\rightarrow$ 0 .

La densité de probabilité du dénombrement (relation 8.10) peut s'écrire sous la forme suivante, pour n = 0, 1, ..., m ,

$$\left(\vphantom{\frac{\lambda T}{m}}\right. {\frac{{\lambda T}}{{m}}} \left.\vphantom{\frac{\lambda T}{m}}\right)^{{n}}_{} \left(\vphantom{1-\frac{\lambda T}{m}}\right. {\frac{{\lambda T}}{{m}}} \left.\vphantom{1-\frac{\lambda T}{m}}\right)^{{m-n}}_{}$$ f_Dm(n) = (8.11)

$${\frac{{m!}}{{n!(m-n)!}}} \left(\vphantom{\frac{\lambda T}{m}}\right. {\frac{{\lambda T}}{{m}}} \left.\vphantom{\frac{\lambda T}{m}}\right)^{{n}}_{} \left(\vphantom{1-\frac{\lambda T}{m}}\right. {\frac{{\lambda T}}{{m}}} \left.\vphantom{1-\frac{\lambda T}{m}}\right)^{{m-n}}_{}$$ = (8.12)

$${\frac{{m(m-1)\ldots(m-n+1)}}{{n!}}} {\frac{{(\lambda T)^{n}}}{{m^{n}}}} \left(\vphantom{1-\frac{\lambda T}{m}}\right. {\frac{{\lambda T}}{{m}}} \left.\vphantom{1-\frac{\lambda T}{m}}\right)^{{m-n}}_{}$$ = (8.13)

$${\frac{{m(m-1)\ldots(m-n+1)}}{{m^{n}}}} {\frac{{(\lambda T)^{n}}}{{n!}}} \left(\vphantom{1-\frac{\lambda T}{m}}\right. {\frac{{\lambda T}}{{m}}} \left.\vphantom{1-\frac{\lambda T}{m}}\right)^{{m-n}}_{}$$ = (8.14)

Le premier facteur de ce produit contient n termes au numérateur et également n termes au dénominateur. De plus, à mesure que m $\rightarrow$ + $\infty$ , chaque rapport de type ${\frac{{(m-...)}}{{m}}}$ tend vers 1 . Dès lors,

$$\lim_{{m\rightarrow+\infty}}^{} {\frac{{m(m-1)\ldots(m-n+1)}}{{m^{n}}}}$$ (8.15)

Le second facteur ne dépend pas de m . Quant au troisième terme, il vaut

$$\left(\vphantom{1-\frac{\lambda T}{m}}\right. {\frac{{\lambda T}}{{m}}} \left.\vphantom{1-\frac{\lambda T}{m}}\right)^{{m-n}}_{} {\frac{{\left(1-\frac{\lambda T}{m}\right)^{m}}}{{\left(1-\frac{\lambda T}{m}\right)^{n}}}}$$ (8.16)

et donc

$$\lim_{{m\rightarrow+\infty}}^{} {\frac{{\left(1-\frac{\lambda T}{m}\right)^{m}}}{{\left(1-\frac{\lambda T}{m}\right)^{n}}}} \lim_{{m\rightarrow+\infty}}^{} \left(\vphantom{1-\frac{\lambda T}{m}}\right. {\frac{{\lambda T}}{{m}}} \left.\vphantom{1-\frac{\lambda T}{m}}\right)^{{m}}_{} \lambda$$ (8.17)

Dès lors,

$$\lim_{{m\rightarrow+\infty}}^{} \left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} \frac{(\lambda T)^{n}}{n!}e^{... ...a T} & n=0, 1, \ldots, m 0 & n\neq0, 1, \ldots, m\end{array}}\right. \begin{array}{ll} \frac{(\lambda T)^{n}}{n!}e^{-\lambda T} & n=0, 1, \ldots, m 0 & n\neq0, 1, \ldots, m\end{array}$$ (8.18)

qui n'est autre que la variable aléatoire de POISSON de paramètre $\alpha$ = $\lambda$T . Étant donné que l'on à fait tendre m vers l'infini, l'indice de la variable aléatoire D_m n'a plus de raison d'être; nous écrirons donc D .

Définition 28   [Variable aléatoire de POISSON] On appelle variable aléatoire de POISSON une variable aléatoire D discrète dont la densité de probabilité est

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} \frac{(\lambda T)^{n}}{n!}e^{-\lambda T} & n=0, 1, \ldots 0 & n\neq0, 1, \ldots\end{array}}\right. \begin{array}{ll} \frac{(\lambda T)^{n}}{n!}e^{-\lambda T} & n=0, 1, \ldots 0 & n\neq0, 1, \ldots\end{array}$$ (8.19)

Elle représente donc ici la probabilité d'avoir n tentatives d'appels pendant la durée T .

La loi de POISSON fait intervenir un taux moyen d'occurrences $\lambda$ et un intervalle de temps d'observation T ; ces dénominations sont justifiées par le théorème suivant (on définit $\alpha$ = $\lambda$T ):

Théorème 29   [34, page 63] Soit à effectuer n tirages. Pour chaque tirage, la probabilité de l'événement pertinent est définie égale à ${\frac{{\alpha}}{{n}}}$ , où $\alpha$ > 0 est une constante et n > $\alpha$ . Soit une variable aléatoire S_n qui dénombre les occurrences d'événements pertinents pour n tirages effectués. Lorsque n $\rightarrow$ + $\infty$ , la densité de probabilité de S_n converge vers une loi de POISSON de paramètre $\alpha$ .

Démonstration.

Elle découle des développements précédents.

Théorème 30   L'espérance et la variance d'une variable aléatoire de POISSON valent toutes deux $\alpha$

$$\mu_{{D}}^{} \alpha$$ = (8.20)

$$\sigma_{{D}}^{{2}} \alpha$$ = (8.21)

Démonstration.

Démontrons la relation 8.20.

$$\mu_{{D}}^{} \sum_{{i=0}}^{{+\infty}} \sum_{{i=0}}^{{+\infty}} {\frac{{\alpha^{i}}}{{i!}}} \alpha$$ (8.22)

Le terme i = 0 de la sommation vaut 0 . Après le changement de variable i = j + 1 ,

$$\mu_{{D}}^{} \sum_{{j=0}}^{{+\infty}} {\frac{{\alpha^{j+1}}}{{(j+1)!}}} \alpha \alpha \underbrace{{\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{\alpha^{j}}{j!}e^{-\alpha}}}_{{1}}^{} \alpha$$ (8.23)

Le fait que la somme soit égale à 1 découle du fait que la fonction de répartition de la loi de POISSON vaut 1 à l'infini (la somme des probabilités définies par la variable aléatoire de POISSON vaut 1 ). La relation 8.21 se démontre d'une manière identique.

Ainsi donc, $\alpha$ = $\lambda$T est égal à la valeur moyenne de la loi de POISSON, d'où le fait que $\lambda$ = ${\frac{{\alpha}}{{T}}}$ est la valeur moyenne du nombre d'occurrences par unité de temps; on parle parfois d'intensité pour $\lambda$ .

Question 31   Soit un taux moyen d'appels de 4 par minute. Quelle est la probabilité P_{$\geq$ 5} d'avoir 5 appels ou plus pendant une minute?

Réponse
Par la variable de POISSON,

$$\geq \sum_{{i=5}}^{{+\infty}} \sum_{{i=0}}^{{4}}$$ (8.24)

Comme $\alpha$ = $\lambda$T = 4 x 1 = 4 ,

$$\geq \left(\vphantom{1+\frac{4^{1}}{1!}+\frac{4^{2}}{2!}+\frac{4^{3}}{3!}+\frac{4^{4}}{4!}}\right. {\frac{{4^{1}}}{{1!}}} {\frac{{4^{2}}}{{2!}}} {\frac{{4^{3}}}{{3!}}} {\frac{{4^{4}}}{{4!}}} \left.\vphantom{1+\frac{4^{1}}{1!}+\frac{4^{2}}{2!}+\frac{4^{3}}{3!}+\frac{4^{4}}{4!}}\right)$$ (8.25)