9.2.4 Modèle électrique

Après avoir déterminé les caractéristiques électriques principales d'une paire de conducteurs, on peut modéliser le fonctionnement électrique d'une ligne en imaginant le système comme une succession de bouts de lignes infinitésimaux; la figure 9.5 montre un bout de ligne infinitésimal.

Figure 9.5: Segment de ligne infinitésimal.

 

9.2.4.1 Paramètres primaires

R , L , C et G sont appelés paramètres primaires de la ligne avec

• R = résistance linéique élémentaire, représentant la résistance de la ligne par unité de longueur [$\Omega$/m] . Elle dépend en particulier de la section et de la nature du conducteur,
• L = inductance linéique [H/m] , modélisant la présence d'un flux variable autour et entre les structures conductrices,
• C = capacité linéique [F/m] , caractérisant la capacité du diélectrique constituant la ligne,
• G = admittance linéique [$\Omega^{{-1}}_{}$/m] , représentant les pertes diélectriques et les défauts d'isolation de la ligne. Elle dépend de la nature des isolants.

9.2.4.2 Équations des télégraphistes

En mettant bout à bout des segments de ligne infinitésimaux et sur base du schéma de la figure 9.6, on obtient aisément le système d'équations suivantes, dites équations des télégraphistes,

$${\frac{{\partial V}}{{\partial z}}} {\frac{{\partial I}}{{\partial t}}}$$ = (9.7)

$${\frac{{\partial I}}{{\partial z}}} {\frac{{\partial V}}{{\partial t}}}$$ = (9.8)

Figure 9.6: Modèle d'une ligne de transmission électrique.

 

La solution du système s'obtient en dérivant l'équation 9.7 par rapport à z et en tenant compte de 9.8. On obtient une équation aux dérivées partielles du second ordre

$${\frac{{\partial^{2}V}}{{\partial z^{2}}}} {\frac{{\partial V}}{{\partial t}}} {\frac{{\partial V^{2}}}{{\partial t^{2}}}}$$ (9.9)

9.2.4.3 Cas particulier 1: ligne sans perte

Dans le cas d'une ligne sans perte (R = G = 0 ),

$${\frac{{\partial^{2}V}}{{\partial z^{2}}}} {\frac{{\partial V^{2}}}{{\partial t^{2}}}}$$ (9.10)

ce qui correspond à une équation d'ondes bien connue dont la solution est une combinaison linéaire de signaux sinusoïdaux

$$\pi \pi$$ (9.11)

où A , B , C et D sont des constantes dont les valeurs dépendent des conditions initiales.

9.2.4.4 Cas particulier 2: régime permanent

En régime permanent, V(z, t) = V(z)e^j$\omega$t . La solution est de la forme

$${\frac{{\partial^{2}V}}{{\partial z^{2}}}} \omega \omega \gamma^{{2}}_{}$$ (9.12)

En prenant une constante de propagation $\gamma$ = $\alpha$ + j$\beta$ , on obtient

$$\gamma \gamma$$ (9.13)

L'onde est donc constituée d'une onde incidente ( V_ie^-$\gamma$z ) et d'une onde réfléchie ( V_re^$\gamma$z ). De plus, on constate que les deux ondes subissent une atténuation e^-$\alpha$z liée au facteur $\alpha$ . On voit tout de suite que l'atténuation croît avec la longueur de la ligne.

La présence d'une atténuation ne signifie pas que toute transmission soit impossible mais bien que le signal est atténué dès qu'il y a des pertes dans le conducteur, impliquant une longueur maximale de la ligne. L'analyse en détail de la question montre que l'atténuation dépend de la fréquence. En fait, elle augmente avec la fréquence. Il est dès lors plus intéressant d'utiliser les basses fréquences pour la transmission. Néanmoins, rien n'empêche d'utiliser les zones d'atténuation plus importantes. C'est le mode de fonctionnement des modems à haut débit ADSL dont le spectre d'utilisation est montré à la figure 9.7.

Figure 9.7: Spectre d'un signal ADSL.

 

9.2.4.5 Paramètres secondaires

Les paramètres primaires ne modélisent la ligne que d'une manière microscopique. On leur préfère souvent les paramètres dits secondaires suivants pour déterminer les propriétés macroscopiques du support:

• impédance caractéristique Z_c
  C'est une donnée complexe qui représente la valeur de l'impédance à connecter en bout de ligne de manière à obtenir une impédance d'entrée de la ligne égale à cette impédance; on la nomme Z_c . En pratique, on doit absolument tenir compte de la valeur de l'impédance lors du raccordement de lignes ou d'équipements à un réseau. En effet, si deux lignes n'ont pas la même impédance, le droit du raccord est le lieu de réflexions parasites qui diminuent considérablement les performances de la transmission. En effet, le coefficient de réflexion est donné par

  $${\frac{{Z_{L}-Z_{c}}}{{Z_{L}+Z_{c}}}}$$ (9.14)

  
  
  où Z_L est l'impédance de charge. On voit donc que le coefficient de réflexion s'annulle lorsque l'impédance de charge d'une ligne (égale à l'impédance d'entrée de la ligne raccordée à cette ligne) est égal à son impédance caractéristique. Il convient de remarquer que l'adaptation de ligne n'est pas équivalente à l'adaptation conjuguée; la première conduit à une absence de réflexion, la seconde à un transfert maximum de puissance dans la charge. Ces deux types d'adaptation sont néanmoins compatibles lorsque la charge est purement réelle.
• coefficient de propagation $\gamma$ (cf. supra)
  Par définition : $\gamma$ = $\alpha$ + j$\beta$ où
  • $\alpha$ = affaiblissement linéique en Néper/mètre [Np/m] ^9.1
  • $\beta$ = déphasage linéique (en [rad /m] )

Le facteur d'atténuation $\alpha$ représente les pertes subies par le signal électrique lors de la propagation le long de la ligne. Il se mesure en injectant un signal à l'une des extrémités de la ligne et en mesurant le signal reçu à l'autre extrémité. $\beta$ est lié à la longueur d'onde $\lambda$ et à la vitesse de propagation v de l'onde électromagnétique dans le support par

$$\beta {\frac{{2\pi}}{{\lambda}}} {\frac{{\omega}}{{v}}} {\frac{{2\pi f}}{{v}}}$$ (9.15)

9.2.4.6 Relations entre les paramètres primaires et secondaires

Les paramètres primaires et secondaires sont liés par les relations suivantes

$$\sqrt{{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}}$$ Z_c = (9.16)

$$\gamma \sqrt{{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}}$$ = (9.17)

Ces équations sont générales et valables sur tout type de ligne. Toutefois, certaines simplifications sont possibles en considérant un caractère plutôt inductif ou pas de ligne, une fréquence d'utilisation élevée ou non. D'autre part, on peut raisonnablement admettre que l'admittance linéique est négligeable, autrement dit G = 0 , en présence d'un isolant entre les conducteurs. Et donc,

$$\simeq \sqrt{{\frac{R+j\omega L}{j\omega C}}}$$ Z_c (9.18)

$$\gamma \simeq \sqrt{{(R+j\omega L)j\omega C}}$$ (9.19)

Notes

...^9.1

Le Néper est lié au décibel par la relation suivante: 1 [Np] = 8, 68 [dB] .