9.5.2 Diaphonie dans le réseau téléphonique

La diaphonie est bien présente dans le réseau téléphonique. En effet, les lignes sortent du central téléphonique dans des câbles pouvant atteindre plusieurs centaines, voire milliers de paires. Cette proximité entraîne des effets diaphoniques importants entre les paires.

La figure 9.16 montre la situation du réseau téléphonique. Le NEXT (Near-End Crosstalk) et le FEXT (Far-End Crosstalk) représentent respectivement la para et la télédiaphonie.

Figure 9.16: Diaphonie dans le réseau téléphonique.

 

En raison de la structure du réseau, les caractéristiques locales ne sont pas invariantes dans tout le réseau. L'approche analytique consiste à simplifier la situation pour aboutir à des conclusions de principe. On cherchera donc à établir une fonction de transfert de puissance entre lignes de référence.

On distingue deux types de modèle pour expliquer les phénomènes de diaphonie:

• le modèle des capacités non équilibrées et
• le modèle des inductances non équilibrées.

Nous allons étudier ces deux modèles.

9.5.2.1 Modèle des capacités non équilibrées

Ce modèle considère deux paires voisines, placées au dessus d'un écran. Comme le montre la figure 9.17, les quatre fils sont caractérisés par une impédance propre, une admittance avec les autres conducteurs et une capacité à une masse commune. On supposera raisonnablement que la conductance entre fils est nulle parce que les conducteurs sont enrobés d'un isolant.

Figure 9.17: Modèle capacitif de deux paires.

 

9.5.2.1.1 Notions de circuit.

Pour un système constitué de N + 1 conducteurs, on peut définir N tensions et N courants; ces valeurs correspondent à N circuits. L'utilisation usuelle d'un câble à N conducteurs revient à considérer N/2 paires, elles-mêmes organisées en quarte. Ces paires servent à transmettre un signal en mode différentiel, c'est-à-dire de type V_i - V_i+1 . Pour arriver à N circuits au total, il reste un solde théorique de N/2 circuits. Mais ces derniers sont délaissés en pratique en raison des effets diaphoniques inacceptables qu'ils induisent.

9.5.2.1.2 Calcul des relations entre courants et tensions.

Pour la facilité, on écrit les capacitances comme des admittances: Y = j$\omega$C (on admet que G = 0 ). Pour les calculs, nous utiliserons des tensions référencées par rapport à la masse.

L'application de la loi des mailles donne les équations suivantes

$$\triangle \triangle$$ = (9.30)

$$\triangle \triangle$$ = (9.31)

$$\triangle \triangle$$ = (9.32)

$$\triangle \triangle$$ = (9.33)

et l'application de la loi des nuds fournit les équations suivantes

$$\triangle \triangle \triangle \triangle \triangle \triangle$$ =

$$\triangle \triangle \triangle \triangle \triangle \triangle$$

$$\triangle \triangle \triangle \triangle \triangle \triangle$$ =

$$\triangle \triangle \triangle \triangle \triangle \triangle$$

$$\triangle \triangle \triangle \triangle \triangle \triangle$$ =

$$\triangle \triangle \triangle \triangle \triangle \triangle$$

$$\triangle \triangle \triangle \triangle \triangle \triangle$$ =

$$\triangle \triangle \triangle \triangle \triangle \triangle$$

Dans toutes ces équations, on peut passer à la limite $\triangle$x $\rightarrow$ 0 après avoir divisé tous les membres par $\triangle$x . Se rappelant que la dérivée est définie par la formule suivante

$${\frac{{d}}{{dx}}} \lim_{{\triangle x\rightarrow0}}^{} {\frac{{f(x+\triangle x)-f(x)}}{{\triangle x}}}$$ (9.34)

Les 8 équations s'expriment alors sous la forme matricielle suivante

$${\frac{{d}}{{dx}}} \left[\vphantom{\begin{array}{c} V_{1} V_{2} V_{3} V_{4} I_{1} I_{2} I_{3} I_{4}\end{array}}\right. \begin{array}{c} V_{1} V_{2} V_{3} V_{4} I_{1} I_{2} I_{3} I_{4}\end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{c} V_{1} V_{2} V_{3} V_{4} I_{1} I_{2} I_{3} I_{4}\end{array}}\right] \left[\vphantom{\begin{array}{cccccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & -Z_{1} & ... ... & 0 & 0 Y_{14} & Y_{24} & Y_{34} & A_{4} & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}}\right. \begin{array}{cccccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & -Z_{1} & 0 & 0 & 0 0 &... ... & 0 & 0 & 0 & 0 Y_{14} & Y_{24} & Y_{34} & A_{4} & 0 & 0 & 0 & 0\end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{cccccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & -Z_{1} & ... ... & 0 & 0 Y_{14} & Y_{24} & Y_{34} & A_{4} & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}}\right] \left[\vphantom{\begin{array}{c} V_{1} V_{2} V_{3} V_{4} I_{1} I_{2} I_{3} I_{4}\end{array}}\right. \begin{array}{c} V_{1} V_{2} V_{3} V_{4} I_{1} I_{2} I_{3} I_{4}\end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{c} V_{1} V_{2} V_{3} V_{4} I_{1} I_{2} I_{3} I_{4}\end{array}}\right] \underline{{A}} \overrightarrow{S}$$ (9.35)

où

A₁ = - (Y_1G + Y₁₂ + Y₁₃ + Y₁₄) (9.36)

A₂ = - (Y_2G + Y₁₂ + Y₂₃ + Y₂₄) (9.37)

A₃ = - (Y_3G + Y₁₃ + Y₂₃ + Y₃₄) (9.38)

A₄ = - (Y_4G + Y₁₄ + Y₂₄ + Y₃₄) (9.39)

Les tensions utiles s'exprimant comme une différence de tensions, on procède aux changements de variables suivants

V_1M = V₁ - V₂ (9.40)

V_2M = V₃ - V₄ (9.41)

$${\frac{{V_{1}+V_{2}}}{{2}}}$$ V_1L = (9.42)

$${\frac{{V_{3}+V_{4}}}{{2}}}$$ V_2L = (9.43)

$${\frac{{I_{1}-I_{2}}}{{2}}}$$ I_1M = (9.44)

$${\frac{{I_{3}-I_{4}}}{{2}}}$$ I_2M = (9.45)

I_1L = I₁ + I₂ (9.46)

I_2L = I₃ + I₄ (9.47)

Ces équations peuvent également être regroupées sous forme matricielle

$$\overrightarrow{S}=\underline{T}\left[\begin{array}{c} V_{1M} ... ... I_{1L} I_{2M} I_{2L}\end{array}\right]=\underline{T}\overrightarrow{S}'$$ (9.48)

où T est une matrice permettant d'effectuer le changement de variables

$$\underline{{T}} \left[\vphantom{\begin{array}{cccccccc} \frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 &... ... 1 & \frac{1}{2} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & \frac{1}{2}\end{array}}\right. \begin{array}{cccccccc} \frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\... ... 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & \frac{1}{2}\end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{cccccccc} \frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 &... ... 1 & \frac{1}{2} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & \frac{1}{2}\end{array}}\right]$$ (9.49)

Dès lors,

$$\overrightarrow{S'}=\underline{T}^{-1}\overrightarrow{S}$$ (9.50)

L'ensemble s'écrit finalement

$${\frac{{d}}{{dx}}} \overrightarrow{S} \underline{{A}} \overrightarrow{S}$$ = (9.51)

$${\frac{{d}}{{dx}}} \underline{{T}}^{{-1}}_{} \overrightarrow{S} \underline{{T}}^{{-1}}_{} \underline{{A}} \overrightarrow{S}$$ = (9.52)

$${\frac{{d}}{{dx}}} \overrightarrow{S}' \underline{{T}}^{{-1}}_{} \underline{{A}} \underline{{T}} \overrightarrow{S'}$$ = (9.53)

La conséquence du changement de variables est le découplage des équations, c'est-à-dire qu'il est possible d'exprimer les courants uniquement en fonction des tensions. Dès lors, en remplaçant Y par j$\omega$C , on obtient

$${\frac{{d}}{{dx}}} \left[\vphantom{\begin{array}{c} I_{1M} I_{1L} I_{2M} I_{2L}\end{array}}\right. \begin{array}{c} I_{1M} I_{1L} I_{2M} I_{2L}\end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{c} I_{1M} I_{1L} I_{2M} I_{2L}\end{array}}\right] {\frac{{j\omega}}{{4}}} \left[\vphantom{\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_... ..._{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{array}}\right. \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} a_{21} &... ...{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_... ..._{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{array}}\right] \left[\vphantom{\begin{array}{c} V_{1M} V_{1L} V_{2M} V_{2L}\end{array}}\right. \begin{array}{c} V_{1M} V_{1L} V_{2M} V_{2L}\end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{c} V_{1M} V_{1L} V_{2M} V_{2L}\end{array}}\right]$$ (9.54)

où

a₁₁ = C_1G + C_2G +4C₁₂ + C₁₃ + C₁₄ + C₂₃ + C₂₄ (9.55)

a₂₁ = a₁₂ = 2C_1G -2C_2G +2C₁₃ +2C₁₄ -2C₂₃ -2C₂₄ (9.56)

a₃₁ = a₁₃ = - C₁₃ + C₁₄ + C₂₃ - C₂₄ (9.57)

a₄₁ = a₁₄ = - 2C₁₃ -2C₁₄ +2C₂₃ +2C₃₄ (9.58)

a₂₂ = 4C_1G +4C_2G +4C₁₃ +4C₁₄ +4C₂₃ +4C₂₄ (9.59)

a₂₃ = a₃₂ = - 2C₁₃ +2C₁₄ -2C₂₃ +2C₂₄ (9.60)

a₂₄ = a₄₂ = - 4C₁₃ -4C₁₄ -4C₂₃ -4C₂₄ (9.61)

a₃₃ = C_3G + C_4G + C₁₃ + C₁₄ + C₂₃ + C₂₄ +4C₃₄ (9.62)

a₃₄ = a₄₃ = 2C_3G -2C_4G +2C₁₃ -2C₁₄ +2C₂₃ -2C₂₄ (9.63)

a₄₄ = 4C_3G +4C_4G +4C₁₃ +4C₁₄ +4C₂₃ +4C₂₄ (9.64)

Le paramètre a₃₁ de ces équations détermine le couplage entre la tension sur une paire et le courant induit dans l'autre paire. Ce terme serait nul si toutes les capacitances étaient égales par couple. C'est ce déséquilibre de capacités qui est à l'origine d'un effet diaphonique; il s'exprime par ^9.4

$${\frac{{d}}{{dx}}} {\frac{{j\omega}}{{4}}}$$ (9.65)

où C_M1M2 est égal à a₃₁ (ou a₁₃ ). Cette équation détermine donc le courant l'évolution du courant perturbateur dans la paire perturbatrice dû à une tension dans la paire perturbatrice. Les termes a₁₂ et a₂₁ sont eux liés au mode commun.

9.5.2.2 Modèle des inductances non équilibrées

Le modèles des inductances non équilibrées est similaire au précédent. Les circuits sont représentés par une série d'effets inductifs tels que repris à la figure 9.18.

Figure 9.18: Modèle inductif de deux paires.

 

L'analyse détaillée de la question montre que la diaphonie se traduit également par l'apparition d'un courant induit dans une paire dû à une différence de tension appliquée à l'autre paire. Plus précisément,

$${\frac{{d}}{{dx}}} \simeq {\frac{{j\omega M}}{{4Z_{c}^{2}}}}$$ (9.66)

où M vaut M₁ + M₂ + M₃ + M₄ .

9.5.2.3 Conclusion

Il apparaît donc que les effets des deux modèles fournissent un courant perturbateur tel que

$${\frac{{d}}{{dx}}} \left(\vphantom{\frac{j\omega M}{4Z_{c}^{2}}-\frac{j\omega}{4}C_{M_{1}M_{2}}}\right. {\frac{{j\omega M}}{{4Z_{c}^{2}}}} {\frac{{j\omega}}{{4}}} \left.\vphantom{\frac{j\omega M}{4Z_{c}^{2}}-\frac{j\omega}{4}C_{M_{1}M_{2}}}\right)$$ (9.67)

que l'on écrira plus généralement

$${\frac{{d}}{{dx}}} \omega$$ (9.68)

où Q_M1M2 tient compte des effets capacitifs et inductifs.

Notes

...^9.4

L'équation 9.65 néglige le terme de diaphonie dû à la tension V_1L de mode commun car, lors de l'installation des lignes, l'opérateur s'arrange pour avoir un rapport de mode différentiel à mode commun de 35 à 55 [dB] .