2.2.2 Signal analytique

Jusqu'à présent, nous avons étudié les signaux modulés. Néanmoins, le principe de ramener le signal en bande de base s'applique à tous les signaux de type passe-bande. Cela nécessite pourtant quelques précautions si l'on veut éviter des recouvrements de spectre à l'origine.

Prenons un signal g(t) réel et déterministe. Le principe de base consiste à effacer une partie du spectre avant de procéder à un déplacement fréquentiel. L'opération est sans perte d'information si l'on se rappelle que le spectre d'un signal réel est tel que

$$\left(\vphantom{\mathcal{G}(-f)}\right. \mathcal {G} \left.\vphantom{\mathcal{G}(-f)}\right) \left(\vphantom{\mathcal{G}(f)}\right. \mathcal {G} \left.\vphantom{\mathcal{G}(f)}\right)$$ = (2.12)

$$\left(\vphantom{\mathcal{G}(-f)}\right. \mathcal {G} \left.\vphantom{\mathcal{G}(-f)}\right) \left(\vphantom{\mathcal{G}(f)}\right. \mathcal {G} \left.\vphantom{\mathcal{G}(f)}\right)$$ = (2.13)

L'exploitation de la symétrie permet de ne considérer que les fréquences positives durant les calculs, à condition bien sûr de reconstituer les fréquences négatives pour rétablir la nature du signal réel en fin de calculs.

Soit donc le filtre $\mathcal {H}$(f ) supprimant les fréquences négatives; par la même occasion, il amplifie les fréquences positives d'un facteur 2 de manière à conserver le même niveau d'énergie. Ce filtre se caractérise par la transmittance

$$\mathcal {H} \left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} 0 & \textrm{si } f<0 2 & \textrm{si } f\geq0\end{array}}\right. \begin{array}{ll} 0 & \textrm{si } f<0 2 & \textrm{si } f\geq0\end{array}$$ (2.14)

qui peut également se mettre sous la forme

$$\mathcal {H}$$(f )= 1 + sgn(f )

Étant donné que la transformée de FOURIER de la fonction sgn est donnée par

sgn(t) $$\rightleftharpoons$$ $${\frac{{1}}{{\pi jf}}}$$

on peut utiliser la propriété de dualité de la transformée de FOURIER pour déduire que

$${\frac{{j}}{{\pi t}}}$$ $$\rightleftharpoons$$ sgn(f )

On arrive alors à l'expression de la réponse impulsionnelle du filtre

h(t) = $$\delta$$(t) + $${\frac{{j}}{{\pi t}}}$$

Définition 12   [Signal analytique] La réponse d'un tel filtre à un signal d'entrée g(t) est appelée signal analytique. Elle est notée g_a(t) et vaut

$$\otimes \left(\vphantom{\delta(t)+\frac{j}{\pi t}}\right. \delta {\frac{{j}}{{\pi t}}} \left.\vphantom{\delta(t)+\frac{j}{\pi t}}\right)$$ g_a(t) = (2.15)

$$\otimes {\frac{{1}}{{\pi t}}}$$ = (2.16)

On définit ensuite la transformée de HILBERT d'un signal.

Définition 13   [Transformée de HILBERT] Soit un signal g(t) . Sa transformée de HILBERT, notée #MATH604#(T) MATHEND000#, vaut

$$\widetilde{{g}} \otimes {\frac{{1}}{{\pi t}}}$$ (2.17)

Par cette définition,

$$\widetilde{{g}}$$ (2.18)

Le signal analytique est donc composé d'une partie réelle, qui n'est autre que le signal original, et d'une partie imaginaire qui en est la transformée de HILBERT. L'apparition d'une composante imaginaire ne doit pas nous étonner car elle résulte de la rupture de symétrie dans le spectre. La norme du signal analytique est appelée enveloppe du signal.

Le signal $\widetilde{{g}}$(t) porte aussi le nom de signal en quadrature du signal d'entrée. Cette appellation provient des caractéristiques du filtre ${\frac{{1}}{{\pi t}}}$ . En effet, la transmittance de ce filtre vaut - jsgn(f ) . Dès lors,

$$\widetilde{{\mathcal{G}}} \mathcal {G}$$ (2.19)

Autrement dit, les fréquences positives et négatives subissent toutes un déphasage de - ${\frac{{\pi}}{{2}}}$ . Par la même occasion, on remarque que la transformée de HILBERT occupe la même bande de fréquence que le signal original.

2.2.2.1 Propriétés de la transformée de HILBERT

Propriété 14   L'énergie (ou la puissance) d'un signal et celle de sa transformée de HILBERT sont égales.

Démonstration

L'énergie de la transformée de HILBERT d'un signal vaut

$$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \left\Vert\vphantom{ \widetilde{g}(t)}\right. \widetilde{{g}} \left.\vphantom{ \widetilde{g}(t)}\right\Vert^{{2}}_{} \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \left\Vert\vphantom{ \widetilde{\mathcal{G}}(f)}\right. \widetilde{{\mathcal{G}}} \left.\vphantom{ \widetilde{\mathcal{G}}(f)}\right\Vert^{{2}}_{}$$ (2.20)

Or

$$\left\Vert\vphantom{ \widetilde{\mathcal{G}}(f)}\right. \widetilde{{\mathcal{G}}} \left.\vphantom{ \widetilde{\mathcal{G}}(f)}\right\Vert^{{2}}_{} \left\Vert\vphantom{ -jsgn(f)}\right. \left.\vphantom{ -jsgn(f)}\right\Vert^{{2}}_{} \left\Vert\vphantom{ \mathcal{G}(f)}\right. \mathcal {G} \left.\vphantom{ \mathcal{G}(f)}\right\Vert^{{2}}_{}$$ = (2.21)

$$\left\Vert\vphantom{ \mathcal{G}(f)}\right. \mathcal {G} \left.\vphantom{ \mathcal{G}(f)}\right\Vert^{{2}}_{}$$ = (2.22)

Propriété 15   [35, page 96] Un signal est orthogonal à sa transformée de HILBERT. Pour un signal d'énergie,

$$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \widetilde{{g}}$$ (2.23)

et pour un signal de puissance

$$\lim_{{T\rightarrow+\infty}}^{} {\frac{{1}}{{2T}}} \int_{{-T}}^{{+T}} \widetilde{{g}}$$ (2.24)

2.2.2.2 Transformée de HILBERT d'un signal modulé

Calculons tout d'abord la transformée de HILBERT d'un cosinus. Soit g(t) = cos(2$\pi$f_ct) . Le spectre de signal vaut

$$\mathcal {G} {\frac{{\delta(f-f_{c})+\delta(f+f_{c})}}{{2}}}$$ (2.25)

d'où, par application de la relation 2.19,

$$\widetilde{{\mathcal{G}}} {\frac{{-j\delta(f-f_{c})+j\delta(f+f_{c})}}{{2}}}$$ = (2.26)

$${\frac{{\delta(f-f_{c})-\delta(f+f_{c})}}{{2j}}}$$ = (2.27)

qui n'est autre que le transformée de FOURIER d'un sinus. Ainsi,

$$\widetilde{{\cos(2\pi f_{c}t)}} \pi$$ (2.28)

Ce résultat ne doit pas nous étonner car il découle d'un déphasage du cosinus par ajout d'une phase - ${\frac{{\pi}}{{2}}}$ . Le même raisonnement conduit aisément au résultat suivant.

Propriété 16   [Transformée de HILBERT d'un signal modulé] Soit un signal g(t) en bande de base,

$$\widetilde{{g(t)\cos(2\pi f_{c}t)}} \pi$$ (2.29)

2.2.2.3 Représentation passe-bas à partir du signal analytique

Le signal analytique peut être utilisé pour construire un signal passe-bas équivalent. En effet, il suffit de ramener le signal analytique près de l'origine par une translation de son spectre. Un moyen commode consiste à prendre la fréquence de référence f₀ du signal passe-bande pour effectuer le déplacement. Mais ce choix n'est nullement obligatoire.

Définition 17   [Enveloppe complexe du signal] Le signal obtenu par décalage du signal analytique le long de l'axe fréquentiel porte le nom d'enveloppe complexe du signal original. Elle sera notée e_g(t) .

Par définition, l'enveloppe complexe et son spectre sont respectivement liés à leur équivalent analytique par les relations

$$\pi$$ (2.30)

$$\mathcal {E} \mathcal {G}$$ (2.31)

La démarche adoptée a permis de construire l'enveloppe complexe à partir du signal de départ. Pour se convaincre de l'utilité de l'enveloppe complexe comme passe-bas équivalent, déterminons le lien inverse. Un calcul simple montre que

$$\left(\vphantom{{g}_{a}(t)}\right. \left.\vphantom{{g}_{a}(t)}\right)$$ g(t) = (2.32)

$$\left(\vphantom{e_{g}(t)e^{2\pi jf_{0}t}}\right. \pi \left.\vphantom{e_{g}(t)e^{2\pi jf_{0}t}}\right)$$ = (2.33)

Il s'agit donc bien d'une forme valide de passe-bas équivalent tel que définie par la relation 2.3.

2.2.2.4 Décomposition de RICE

Il nous reste maintenant à déterminer des moyens pratiques pour calculer l'enveloppe complexe d'un signal. Pour ce faire, on décompose l'enveloppe complexe en sa partie réelle et sa partie imaginaire

e_g(t) = g_I(t) + jg_Q(t) (2.34)

Nous avons pris le soin de faire référence au signal g pour des raisons qui apparaîtront bientôt. g_I(t) s'obtient comme suit

$$\left(\vphantom{e_{g}(t)}\right. \left.\vphantom{e_{g}(t)}\right)$$ g_I(t) = (2.35)

$$\left(\vphantom{{g}_{a}(t)e^{-2\pi jf_{0}t}}\right. \pi \left.\vphantom{{g}_{a}(t)e^{-2\pi jf_{0}t}}\right)$$ = (2.36)

$$\pi \widetilde{{g}} \pi$$ = (2.37)

De même,

$$\left(\vphantom{e_{g}(t)}\right. \left.\vphantom{e_{g}(t)}\right)$$ g_Q(t) = (2.38)

$$\left(\vphantom{{g}_{a}(t)e^{-2\pi jf_{0}t}}\right. \pi \left.\vphantom{{g}_{a}(t)e^{-2\pi jf_{0}t}}\right)$$ = (2.39)

$$\pi \widetilde{{g}} \pi$$ = (2.40)

Les signaux g_I(t) et g_Q(t) sont appelés composantes de RICE ou composantes en quadrature. Sur le plan théorique, on peut les calculer très simplement à partir du schéma décrit à la figure 2.3.

Figure 2.3: Schéma de calcul de la composante en phase de RICE.

 

L'intérêt des composantes de RICE est clair lorsqu'on détermine le signal de départ à partir de l'enveloppe complexe. En effet,

$$\left(\vphantom{{g}_{a}(t)}\right. \left.\vphantom{{g}_{a}(t)}\right)$$ g(t) = (2.41)

$$\left(\vphantom{e_{g}(t)e^{2\pi jf_{0}t}}\right. \pi \left.\vphantom{e_{g}(t)e^{2\pi jf_{0}t}}\right)$$ = (2.42)

$$\left(\vphantom{(g_{I}(t)+jg_{Q}(t))e^{2\pi jf_{0}t}}\right. \pi \left.\vphantom{(g_{I}(t)+jg_{Q}(t))e^{2\pi jf_{0}t}}\right)$$ = (2.43)

$$\pi \pi$$ = (2.44)

Cette dernière expression traduit un résultat important: tout signal passe-bande peut s'exprimer comme la somme de deux signaux confinés à l'intérieur de l'intervalle de fréquences [- ${\frac{{W}}{{2}}}$,${\frac{{W}}{{2}}}$] et modulés en quadrature.

La figure 2.4 montre comment reconstituer le signal original à partir de ses composantes de RICE.

Figure 2.4: Schéma de reconstitution d'un signal à partir de ses composantes de RICE.

 

L'enveloppe complexe peut aussi s'écrire sous la forme d'une amplitude instantanée et d'une phase instantanée

$$\phi_{{g}}$$ (2.45)

On a alors les trois relations

$$\sqrt{{g_{I}^{2}(t)+g_{Q}^{2}(t)}}$$ a_g(t) = (2.46)

$$\phi_{{g}}^{} {\frac{{g_{Q(t)}}}{{g_{I}(t)}}}$$ = (2.47)

$$\pi \phi_{{g}}^{}$$ g(t) = (2.48)

Dès lors, on trouve un second résultat important: tout signal passe-bande peut s'exprimer sous la forme d'un signal modulé en phase et en amplitude. Le passage de g(t) dans un détecteur de crête produit a_g(t) . D'autre part, moyennant la suppression de la modulation résiduelle, un détecteur de phase ou un discriminateur de fréquences sera en mesure de déterminer l'allure de la modulation angulaire.

2.2.2.5 En pratique

Les expressions 2.37 et 2.40 de calcul des composantes de RICE, pour rigoureuses qu'elles soient, ne sont guère pratiques car elles exigent la détermination préalable de la transformée de HILBERT. Un moyen très facile consiste à procéder à l'instar d'un démodulateur d'amplitude: on multiplie le signal original par 2 cos(2$\pi$f₀t) (ou 2 sin(2$\pi$f₀t) ) et on applique un filtre passe-bas, comme illustré par le schéma 2.5.

En effet,

$$\pi \left[\vphantom{g_{I}(t)\cos(2\pi f_{0}t)-g_{Q}(t)\sin(2\pi f_{0}t)}\right. \pi \pi \left.\vphantom{g_{I}(t)\cos(2\pi f_{0}t)-g_{Q}(t)\sin(2\pi f_{0}t)}\right] \pi$$ = (2.49)

$$\left[\vphantom{g_{I}(t)\cos^{2}(2\pi f_{0}t)-g_{Q}(t)\sin(2\pi f_{0}t)\cos(2\pi f_{0}t)}\right. \pi \pi \pi \left.\vphantom{g_{I}(t)\cos^{2}(2\pi f_{0}t)-g_{Q}(t)\sin(2\pi f_{0}t)\cos(2\pi f_{0}t)}\right]$$ = (2.50)

$$\pi \pi$$ = (2.51)

Un filtrage passe-bas fournit donc bien g_I(t) .

Figure 2.5: Schéma de calcul pratique des composantes de RICE.

 

Les composantes de RICE occupent une bande de fréquences qui n'est pas fondamentalement plus large que celle de l'enveloppe complexe. Pour le montrer, calculons le spectre de g_I(t) . Comme g_I(t) = ${\frac{{1}}{{2}}}$$\left(\vphantom{e_{g}(t)+e_{g}^{\ast}(t)}\right.$e_g(t) + e_g ^* (t)$\left.\vphantom{e_{g}(t)+e_{g}^{\ast}(t)}\right)$ ,

$$\mathcal {G} {\frac{{1}}{{2}}} \left(\vphantom{\mathcal{E}_{g}(f)+\mathcal{E}_{g}^{\ast}(-f)}\right. \mathcal {E} \mathcal {E} \left.\vphantom{\mathcal{E}_{g}(f)+\mathcal{E}_{g}^{\ast}(-f)}\right)$$ (2.52)

Dès lors, si la transformée $\mathcal {E}$_g(f ) est nulle $\forall$f :  $\left\vert\vphantom{f}\right.$f$\left.\vphantom{f}\right\vert$ > f_sup , le spectre de la composante en phase est confiné dans l'intervalle de fréquences [- f_sup, + f_sup] .