4.4.2 Calcul de la densité spectrale de puissance

Dans le cas des modulations linéaires à décalage, l'expression (4.65) de l'enveloppe complexe ne permet pas un calcul direct de sa densité spectrale de puissance, en raison de la présence du facteur e^{jk${\frac{{\pi}}{{2}}}$} . Afin de résoudre ce problème, nous allons introduire une nouvelle fréquence porteuse f_c' et une nouvelle enveloppe complexe v(t) pour laquelle le calcul de la densité spectrale de puissance sera possible :

$$\left(\vphantom{e_{s}(t) e^{j\left(2\pi f_{c}t+\varphi_{c}\right)}}\right. \left(\vphantom{2\pi f_{c}t+\varphi_{c}}\right. \pi \varphi_{{c}} \left.\vphantom{2\pi f_{c}t+\varphi_{c}}\right) \left.\vphantom{e_{s}(t) e^{j\left(2\pi f_{c}t+\varphi_{c}\right)}}\right)$$ s(t) = (4.73)

$$\left(\vphantom{e_{s}(t) e^{-j2\pi\frac{t}{4T_{b}}} e^{j\left(2\pi\left(f_{c}+\frac{1}{4T_{b}}\right)t+\varphi_{c}\right)}}\right. \pi {\frac{{t}}{{4T_{b}}}} \left(\vphantom{2\pi\left(f_{c}+\frac{1}{4T_{b}}\right)t+\varphi_{c}}\right. \pi \left(\vphantom{f_{c}+\frac{1}{4T_{b}}}\right. {\frac{{1}}{{4T_{b}}}} \left.\vphantom{f_{c}+\frac{1}{4T_{b}}}\right) \varphi_{{c}} \left.\vphantom{2\pi\left(f_{c}+\frac{1}{4T_{b}}\right)t+\varphi_{c}}\right) \left.\vphantom{e_{s}(t) e^{-j2\pi\frac{t}{4T_{b}}} e^{j\left(2\pi\left(f_{c}+\frac{1}{4T_{b}}\right)t+\varphi_{c}\right)}}\right)$$ = (4.74)

$$\left(\vphantom{v(t) e^{j\left(2\pi f_{c}'t+\varphi_{c}\right)}}\right. \left(\vphantom{2\pi f_{c}'t+\varphi_{c}}\right. \pi \varphi_{{c}} \left.\vphantom{2\pi f_{c}'t+\varphi_{c}}\right) \left.\vphantom{v(t) e^{j\left(2\pi f_{c}'t+\varphi_{c}\right)}}\right)$$ = (4.75)

où nous avons posé

$$\pi {\frac{{t}}{{4T_{b}}}}$$ v(t) = (4.76)

$${\frac{{1}}{{4T_{b}}}}$$ f_c' = (4.77)

Si nous connaissons la densité spectrale de puissance du signal complexe v(t) , il est possible de calculer la densité spectrale de puissance du signal modulé par le biais de la formule

$$\gamma_{{s}}^{} {\frac{{\gamma _{v}\left(f-f_{c}'\right)+\gamma _{v}^{*}\left(-f-f_{c}'\right)}}{{4}}} {\frac{{\gamma _{v}\left(f-f_{c}-\frac{1}{4T_{b}}\right)+\gamma _{v}^{*}\left(-f-f_{c}-\frac{1}{4T_{b}}\right)}}{{4}}}$$ (4.78)

que nous avons démontrée précédemment. Nous allons à présent montrer que v(t) peut se mettre sous la forme (4.24) pour laquelle nous sommes à même de calculer la densité spectrale de puissance. En fait,

$$\sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}} {\frac{{\pi}}{{2}}} \pi {\frac{{t}}{{4T_{b}}}}$$ v(t) = (4.79)

$$\sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}} {\frac{{\pi}}{{2T_{b}}}}$$ = (4.80)

$$\sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}}$$ = (4.81)

où nous avons posé

$${\frac{{\pi t}}{{2T_{b}}}}$$ (4.82)

Le signal h(t) correspond à un nouveau signal de mise en forme dont la transformée de FOURIER se déduit du signal g(t)

$$\mathcal {H} \mathcal {G} \left(\vphantom{f+\frac{1}{4T_{b}}}\right. {\frac{{1}}{{4T_{b}}}} \left.\vphantom{f+\frac{1}{4T_{b}}}\right)$$ (4.83)

La densité spectrale de puissance du signal v(t) s'obtient alors en adaptant la formule (4.27)

$$\gamma_{{v}}^{} {\frac{{\left\Vert \mathcal{H}(f)\right\Vert ^{2}}}{{T_{b}}}} \left[\vphantom{\sigma_{A}^{2}+\mu_{A}^{2} \sum_{m=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{T_{b}}\delta\left(f-\frac{m}{T_{b}}\right)}\right. \sigma_{{A}}^{{2}} \mu_{{A}}^{{2}} \sum_{{m=-\infty}}^{{+\infty}} {\frac{{1}}{{T_{b}}}} \delta \left(\vphantom{f-\frac{m}{T_{b}}}\right. {\frac{{m}}{{T_{b}}}} \left.\vphantom{f-\frac{m}{T_{b}}}\right) \left.\vphantom{\sigma_{A}^{2}+\mu_{A}^{2} \sum_{m=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{T_{b}}\delta\left(f-\frac{m}{T_{b}}\right)}\right]$$ (4.84)

Nous avons à présent à notre disposition tous les outils nécessaires au calcul de la densité spectrale de puissance de signaux numériques linéaires à décalage.