5.2.1 Canal idéal de NYQUIST

La façon la plus simple de satisfaire l'équation 5.19 consiste à choisir pour $\mathcal {P}$(f ) une impulsion de forme rectangulaire

$$\mathcal {P} \left\{\vphantom{ \begin{array}{cc} \frac{1}{2W} & -W<f<W\\ 0 & \vert f\vert>W\end{array}}\right. \begin{array}{cc} \frac{1}{2W} & -W<f<W\\ 0 & \vert f\vert>W\end{array}$$ = (5.20)

$${\frac{{1}}{{2W}}} \left(\vphantom{f}\right. \left.\vphantom{f}\right)$$ = (5.21)

où la bande de base du système W est définie par

$${\frac{{f_{b}}}{{2}}} {\frac{{1}}{{2T_{b}}}}$$ (5.22)

La condition est donc bien satisfaite. Cette équation permet de dire qu'aucune fréquence nécessaire ne dépasse la moitié du débit binaire. On en déduit qu'une fonction p(t) qui satisferait le critère de NYQUIST est, comme il avait été signalé précédemment, le sinus cardinal:

$${\frac{{\sin(2\pi Wt)}}{{2\pi Wt}}}$$ (5.23)

Une telle fonction p(t) (ou $\mathcal {P}$(f ) ) caractérise le canal idéal de NYQUIST. Les figures 5.2.(a) et .5.2.(b) montre les fonctions p(t) et $\mathcal {P}$(f ) . p(t) peut dès lors être vue comme la réponse impulsionnelle d'un filtre passe bas idéal de fréquence de coupure correspondant à W .

Figure 5.2: Canal idéal de Nyquist.

 

À la figure 5.2.(b), on voit également les différents instants d'échantillonage. Il est clair que, si le signal reçu y(t) est échantillonné aux instants t = 0,$\pm$T_b,$\pm$2T_b, ... , les impulsions $\mu$p(t - iT_b) ( i = 0,$\pm$1,$\pm$2, ... ) n'interfèrent pas entre elles. Cette condition est illustrée à la figure 5.3 pour la séquence binaire 1011010. On constate dès lors qu'aux instants d'échantillonnage, tous les sinus cardinal relatif aux symboles perturbateurs sont nuls.

Figure 5.3: Une série d'impulsions correspondant à la séquence 1011010.

 

Il existe cependant des raisons pour lesquelles l'impulsion en sinus cardinal ne peut être utilisée en pratique:

1. elle nécessite que $\mathcal {P}$(f ) soit constante sur l'intervalle de fréquence [- W, + W] et nulle partout ailleurs. Cela est pratiquement irréalisable en raison des transitions abruptes en $\pm$W (un filtre passe-bas idéal n'est pas réalisable),
2. la fonction p(t) décroît en 1/| t| pour | t| élevé; elle décroît donc très lentement, les sinus cardinal se répercuteront donc sur des échantillons lointains. Il y a dès lors très peu de marge d'erreur acceptable sur les instants d'échantillonnage car si on n'échantillonne pas tout à fait au bon moment, tous les sinus cardinaux sont non nuls, ce qui donne une erreur cumulée importante.
   Pour évaluer cet effet d'erreur d'échantillonnage, considérons que l'on échantillonne le signal y(t) en t = t_i + $\Delta$t , où $\Delta$t est le décalage temporel. Pour la clarté, on suppose que t_i = 0 . En l'absence de bruit, nous avons donc
   

   $$\Delta \mu \sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}} \Delta$$ = (5.24)

   $$\mu \sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}} {\frac{{\sin[2\pi W(\Delta t-kT_{b})]}}{{2\pi W(\Delta t-kT_{b})}}}$$ = (5.25)

   
   Sachant que
   
   

   $$\pi \Delta \pi \Delta \pi$$ = (5.26)

   $$\pi \Delta \pi$$ (5.27)

   $$\pi \Delta$$ = (5.28)

   
   Comme 2WT_b = 1 par définition, nous pouvons réécrire

   $$\Delta \mu \Delta {\frac{{\mu\sin(2\pi W\Delta t)}}{{\pi}}} \sum_{{\begin{array}{c} k=-\infty k\neq0\end{array}}}^{{+\infty}} {\frac{{(-1)^{k}}}{{(2W\Delta t-k)}}}$$ (5.29)

   
   
   Le premier terme correspond au symbole désiré, tandis que la série représente l'interférence inter-symboles dues à l'erreur $\Delta$t . Il est malheureusement possible que cette série diverge, provoquant des décisions erronées au récepteur.