5.2 Critère de NYQUIST

Le but poursuivi est, comme mentionné précédemment, de choisir la forme de p(t) de manière à minimiser, voire éliminer, le terme d'interférence. Or, nous avons vu que p(t) est liée à g_E(t) , h(t) et g_R(t) . Cependant, en général, la fonction de transfert du canal de transmission h(t) est fixée et il est donc impossible de la modifier pour minimiser l'interférence inter-symboles. Il reste cependant deux degrés de liberté: l'impulsion de mise en forme g_E(t) et la réponse impulsionnelle du filtre de réception g_R(t) . Le terme d'interférence étant exprimé en fonction de l'impulsion p(t) , nous allons simplement déterminer une forme pour p(t) telle que l'interférence s'annulle complètement. Les fonctions g_E(t) et g_R(t) pourront ensuite être obtenues en exploitant l'équation 5.8.

Le décodeur extrait la séquence de coefficients A_k en échantillonnant la sortie du filtre y(t) toutes les T_b secondes. Pour le i -ème bit, le décodage à interférence inter-symboles nulle survient si les contributions A_kp(iT_b - kT_b) sont nulles pour k $\neq$ i . Dès lors, il faut que l'impulsion p(t) vérifie la condition

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{cc} 1 & \textrm{si }i=k 0 & \textrm{si }i\neq k\end{array}}\right. \begin{array}{cc} 1 & \textrm{si }i=k 0 & \textrm{si }i\neq k\end{array}$$ (5.12)

où p(0) = 1 par normalisation. Si p(t) vérifie cette condition, il n'y pas d'interférence inter-symboles et la réception est parfaite en l'absence de bruit. On constate déjà, intuitivement, qu'une fonction sinus cardinal permettrait de remplir cette condition.

Du point de vue de la synthèse du système, il est intéressant de reprendre la condition 5.12 dans le domaine fréquentiel. Comme la propriété que doit vérifier p(t) est donnée en des points bien précis (au droit des échantillons), considérons la version échantillonnée de p(t) représentée par la séquence d'échantillons {p(mT_b)} pour m = 0,$\pm$1,$\pm$2, ... Le signal

$$\sum_{{m=-\infty}}^{{+\infty}} \delta$$ (5.13)

représente alors une version échantillonnée du signal p(t) . Par le théorème d'échantillonnage, il est facile de calculer la transformée de FOURIER du signal p_s(t)

$$\mathcal {P} \sum_{{m=-\infty}}^{{+\infty}} \mathcal {P}$$ (5.14)

où f_b = 1/T_b est le débit binaire (ou rythme) exprimé en [b/s] . On remarque dès lors une répétition du spectre autour de tous les multiples entiers de la fréquence d'échantillonnage. La fonction $\mathcal {P}$_s(f ) peut encore s'écrire sous la forme

$$\mathcal {P} \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \sum_{{m=-\infty}}^{{+\infty}} \left[\vphantom{p(mT_{b})\delta(t-mT_{b})}\right. \delta \left.\vphantom{p(mT_{b})\delta(t-mT_{b})}\right] \pi$$ (5.15)

mais vu que la somme se réduit au terme correspondant à m = 0 , on peut encore écrire

$$\mathcal {P} \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \delta \pi$$ = (5.16)

= 1 (5.17)

Il nous reste maintenant à combiner les équations  et  pour obtenir

$$\sum_{{m=-\infty}}^{{+\infty}} \mathcal {P}$$ (5.18)

Nous pouvons à présent énoncer le critère de NYQUIST pour une transmission en bande de base idéale en l'absence de bruit.

Proposition 22   [Critère de NYQUIST] La transformée de FOURIER $\mathcal {P}$(f ) de l'impulsion p(t) élimine totalement l'interférence inter-symboles pour des échantillons pris toutes les T_b secondes si elle vérifie la condition

$$\sum_{{m=-\infty}}^{{+\infty}} \mathcal {P}$$ (5.19)

Rappelons que la transformée $\mathcal {P}$(f ) dépend du système dans son ensemble; cela inclut le filtre de mise en forme, la transmittance du canal et le filtre de réception.