5.2.2 Impulsion en cosinus surélevé

Nous pouvons trouver une parade aux difficultés rencontrées avec le canal idéal de NYQUIST en augmentant le bande passante d'une valeur ajustable entre W et 2W . Nous allons spécifier la fonction $\mathcal {P}$(f ) , en considérant trois termes de la condition 5.18, et restreindre l'intervalle de fréquence étudié à [- W, + W] . On obtient donc une forme approchée du critère de NYQUIST:

$$\mathcal {P} \mathcal {P} \mathcal {P} {\frac{{1}}{{2W}}} \leq \leq$$ (5.30)

Il est possible de déterminer un ensemble de fonctions $\mathcal {P}$(f ) qui vérifient cette dernière condition. Une forme spéciale de la fonction $\mathcal {P}$(f ) souvent utilisée en pratique est l'impulsion en cosinus surélevé dont le spectre est donné par

$$\mathcal {P} \left\{\vphantom{ \begin{array}{cc} \frac{1}{2W} & 0\leq\vert f\v... ...\leq\vert f\vert\leq2W-f_{1} 0 & \vert f\vert\geq2W-f_{1}\end{array}}\right. \begin{array}{cc} \frac{1}{2W} & 0\leq\vert f\vert<f_{1} \frac... ... & f_{1}\leq\vert f\vert\leq2W-f_{1} 0 & \vert f\vert\geq2W-f_{1}\end{array}$$ (5.31)

La constante f₁ et la bande de base W sont liées par

$$\alpha {\frac{{f_{1}}}{{W}}}$$ (5.32)

où $\alpha$ est un paramètre, appelé facteur de rolloff, qui indique l'excès en bande passante nécessaire par rapport au canal idéal de NYQUIST. La bande passante du système B_T est maintenant égale à

$$\alpha$$ (5.33)

Les fonctions $\mathcal {P}$(f ) et p(t) sont respectivement représentées aux figures 5.4.(a) et 5.4.(b) pour $\alpha$ = 0 , $\alpha$ = 0, 5 et 1 . Pour $\alpha$ = 0 , l'impulsion correspond au canal idéal de NYQUIST.

Figure 5.4: Impulsion en cosinus surélevé.

 

L'impulsion p(t) est simplement la transformée de FOURIER inverse de $\mathcal {P}$(f )

$$\left(\vphantom{\frac{\cos(2\pi\alpha Wt)}{1-16\alpha^{2}W^{2}t^{2}}}\right. {\frac{{\cos(2\pi\alpha Wt)}}{{1-16\alpha^{2}W^{2}t^{2}}}} \left.\vphantom{\frac{\cos(2\pi\alpha Wt)}{1-16\alpha^{2}W^{2}t^{2}}}\right)$$ (5.34)

La fonction p(t) est formée par le produit de deux facteurs: le facteur sinc(2Wt) qui correspond au canal idéal et une fonction qui décroît en 1/| t|² lorsque | t| est grand. Le premier facteur assure que la fonction p(t) passe par zéro aux instants d'échantillonnage t_i = i$\Delta$t tandis que le second facteur réduit l'extension temporelle de l'impulsion de telle sorte que l'erreur $\Delta$t est considérablement réduite. Pour $\alpha$ = 1 , l'extension temporelle de l'impulsion est minimale. L'erreur $\Delta$t diminue donc lorsque $\alpha$ augmente. Cependant, la bande passante est d'autant plus grande que $\alpha$ est grand, pour atteindre sa valeur maximale 2W -soit le double de la bande passante nécessaire pour le canal idéal de NYQUIST-, lorsque $\alpha$ = 1 . Un compromis existe donc entre la bande passante est la diminution de l'interférence inter-symboles. Typiquement, une valeur de $\alpha$ = 0.3 convient.

La synthèse d'un système de télécommunications numérique est rendue difficile par le fait que c'est la fonction p(t) qui doit posséder une réponse impulsionnelle en forme de cosinus surélevé. Or, p(t) résulte de la mise en cascade de trois systèmes (g_E(t) , h(t) et g_R(t) ). La synthèse de ces systèmes doit donc être telle que l'ensemble doit être caractérisé par un cosinus surélevé.