Sous-sections

2.6.3 Illustrations

2.6.3.1 La fonction Rectangle

Considérons l'image f$ \left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$ \left.\vphantom{x,y}\right)$ définie par

f$\displaystyle \left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\displaystyle \left.\vphantom{x,y}\right)$ = Arect[a, b]$\displaystyle \left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\displaystyle \left.\vphantom{x,y}\right)$ (2.54)

où

rect[a, b]$\displaystyle \left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\displaystyle \left.\vphantom{x,y}\right)$ = $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{ccc} 1 & & \left\vert x\right\ver... ...eft\vert y\right\vert<\frac{b}{2}\\ 0 & & \textrm{ailleurs}\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ccc} 1 & & \left\vert x\right\vert<\frac{a}{2},\left\vert y\right\vert<\frac{b}{2}\\ 0 & & \textrm{ailleurs}\end{array}$ (2.55)

Cette fonction est appelée fonction Rectangle. L'image f$ \left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$ \left.\vphantom{x,y}\right)$ vaut donc A à l'intérieur du rectangle de longueur a et de largeur b dont les côtés sont parallèles aux axes x et y, et zéro partout ailleurs. La transformée de FOURIER de l'image f$ \left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$ \left.\vphantom{x,y}\right)$ est donnée par
$\displaystyle \mathcal {F}$$\displaystyle \left(\vphantom{u,v}\right.$u, v$\displaystyle \left.\vphantom{u,v}\right)$ = $\displaystyle \int_{{-a/2}}^{{+a/2}}$dx$\displaystyle \int_{{-b/2}}^{{+b/2}}$dyAe-2$\scriptstyle \pi$j$\scriptstyle \left(\vphantom{xu+yv}\right.$xu + yv$\scriptstyle \left.\vphantom{xu+yv}\right)$ (2.56)
  = Aab$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\sin\left(\pi au\right)}{\pi au}}\right.$$\displaystyle {\frac{{\sin\left(\pi au\right)}}{{\pi au}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\sin\left(\pi au\right)}{\pi au}}\right)$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\sin\left(\pi bv\right)}{\pi bv}}\right.$$\displaystyle {\frac{{\sin\left(\pi bv\right)}}{{\pi bv}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\sin\left(\pi bv\right)}{\pi bv}}\right)$ (2.57)

Il s'agit du produit de deux sinus cardinaux. Ce résultat aurait pu être obtenu en remarquant que l'image f$ \left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$ \left.\vphantom{x,y}\right)$ est séparable spatialement et en utilisant la propriété 2.43 de séparabilité. Nous avons donc la paire de transformées de FOURIER

rect[a, b]$\displaystyle \left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\displaystyle \left.\vphantom{x,y}\right)$ $\displaystyle \rightleftharpoons$ ab$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\sin\left(\pi au\right)}{\pi au}}\right.$$\displaystyle {\frac{{\sin\left(\pi au\right)}}{{\pi au}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\sin\left(\pi au\right)}{\pi au}}\right)$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\sin\left(\pi bv\right)}{\pi bv}}\right.$$\displaystyle {\frac{{\sin\left(\pi bv\right)}}{{\pi bv}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\sin\left(\pi bv\right)}{\pi bv}}\right)$ (2.58)

Une représentation de l'image f$ \left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$ \left.\vphantom{x,y}\right)$ est donné à la figure 2.4 tandis que le module de sa transformée de FOURIER est représenté à la figure 2.5.

Figure 2.4: Illustration de la fonction Rectangle.
3037  

Figure 2.5: Module de la transformée de FOURIER de la fonction Rectangle.
3045  

2.6.3.2 La fonction Disque

Considérons l'image f$ \left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$ \left.\vphantom{x,y}\right)$ définie par

f$\displaystyle \left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\displaystyle \left.\vphantom{x,y}\right)$ = ADisqueR$\displaystyle \left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\displaystyle \left.\vphantom{x,y}\right)$ (2.59)

où

DisqueR$\displaystyle \left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\displaystyle \left.\vphantom{x,y}\right)$ = $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{ccc} 1 & & \sqrt{x^{2}+y^{2}}<R\\ 0 & & \textrm{ailleurs}\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ccc} 1 & & \sqrt{x^{2}+y^{2}}<R\\ 0 & & \textrm{ailleurs}\end{array}$ (2.60)

est appelée fonction disque. L'image f$ \left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$ \left.\vphantom{x,y}\right)$ vaut donc A sur le disque de rayon R et zéro partout ailleurs. La transformée de FOURIER de l'image f$ \left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$ \left.\vphantom{x,y}\right)$ est donnée par
$\displaystyle \mathcal {F}$$\displaystyle \left(\vphantom{u,v}\right.$u, v$\displaystyle \left.\vphantom{u,v}\right)$ = $\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$$\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$f$\displaystyle \left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\displaystyle \left.\vphantom{x,y}\right)$e-2$\scriptstyle \pi$j$\scriptstyle \left(\vphantom{xu+yv}\right.$xu + yv$\scriptstyle \left.\vphantom{xu+yv}\right)$dxdy (2.61)
  = $\displaystyle \int_{{0}}^{{R}}$rdr$\displaystyle \int_{{0}}^{{2\pi}}$Ae-2$\scriptstyle \pi$jr$\scriptstyle \left(\vphantom{u\cos\theta+v\sin\theta}\right.$u cos$\scriptstyle \theta$ + v sin$\scriptstyle \theta$$\scriptstyle \left.\vphantom{u\cos\theta+v\sin\theta}\right)$d$\displaystyle \theta$ (2.62)

où nous avons effectué un changement de variables des coordonnées cartésiennes vers les coordonnées polaires. En se basant sur les propriétés des fonctions de BESSEL, nous obtenons le résultat suivant

$\displaystyle \mathcal {F}$$\displaystyle \left(\vphantom{u,v}\right.$u, v$\displaystyle \left.\vphantom{u,v}\right)$ = AR$\displaystyle {\frac{{J_{1}\left(2\pi R\sqrt{u^{2}+v^{2}}\right)}}{{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}}}$ (2.63)

où J1$ \left(\vphantom{r}\right.$r$ \left.\vphantom{r}\right)$ est la fonction de BESSEL d'ordre 1. Il est à noter que la transformée de FOURIER de l'image f$ \left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$ \left.\vphantom{x,y}\right)$ est purement réelle et à symétrie radiale, c'est-à-dire qu'elle ne dépend que de la distance $ \sqrt{{u^{2}+v^{2}}}$ à l'origine. Nous avons donc la paire de transformées de FOURIER

DisqueR$\displaystyle \left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\displaystyle \left.\vphantom{x,y}\right)$ $\displaystyle \rightleftharpoons$ R$\displaystyle {\frac{{J_{1}\left(2\pi R\sqrt{u^{2}+v^{2}}\right)}}{{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}}}$ (2.64)

L'image f$ \left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$ \left.\vphantom{x,y}\right)$ est représentée à la figure 2.6 tandis que le module de sa transformée de FOURIER est représenté à la figure 2.7.

Figure 2.6: Illustration de la fonction Disque.
3113  

Figure 2.7: Module de la transformée de FOURIER de la fonction Disque.
3121  

2.6.3.3 Dual de la fonction Rectangle

Pour rappel, nous avons la paire de transformées de FOURIER suivante

rect[a, b]$\displaystyle \left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\displaystyle \left.\vphantom{x,y}\right)$ $\displaystyle \rightleftharpoons$ ab$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\sin\left(\pi au\right)}{\pi au}}\right.$$\displaystyle {\frac{{\sin\left(\pi au\right)}}{{\pi au}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\sin\left(\pi au\right)}{\pi au}}\right)$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\sin\left(\pi bv\right)}{\pi bv}}\right.$$\displaystyle {\frac{{\sin\left(\pi bv\right)}}{{\pi bv}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\sin\left(\pi bv\right)}{\pi bv}}\right)$ (2.65)

En utilisant la propriété de dualité (relation 2.46) de la transformée de FOURIER, nous obtenons

$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\sin\left(\pi ax\right)}{\pi ax}}\right.$$\displaystyle {\frac{{\sin\left(\pi ax\right)}}{{\pi ax}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\sin\left(\pi ax\right)}{\pi ax}}\right)$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\sin\left(\pi by\right)}{\pi by}}\right.$$\displaystyle {\frac{{\sin\left(\pi by\right)}}{{\pi by}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\sin\left(\pi by\right)}{\pi by}}\right)$ $\displaystyle \rightleftharpoons$ $\displaystyle {\frac{{1}}{{ab}}}$rect[a, b]$\displaystyle \left(\vphantom{u,v}\right.$u, v$\displaystyle \left.\vphantom{u,v}\right)$ (2.66)

La nouvelle image ainsi obtenue est dite à bande limitée car son spectre en fréquence est limité à une région finie du plan u - v. En l'occurrence, cette région est, dans ce cas-ci, un rectangle de longueur a et de largeur b centré à l'origine. D'après la définition de la fonction rectangle, le spectre est nul en dehors de ce rectangle.

2.6.3.4 Dual de la fonction Disque

Pour rappel, nous avons la paire de transformées de FOURIER suivante

DisqueR$\displaystyle \left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\displaystyle \left.\vphantom{x,y}\right)$ $\displaystyle \rightleftharpoons$ R$\displaystyle {\frac{{J_{1}\left(2\pi R\sqrt{u^{2}+v^{2}}\right)}}{{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}}}$ (2.67)

En utilisant la propriété de dualité (relation 2.46) de la transformée de FOURIER, nous obtenons

$\displaystyle {\frac{{J_{1}\left(2\pi f_{0}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}}{{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}}$ $\displaystyle \rightleftharpoons$ $\displaystyle {\frac{{1}}{{f_{0}}}}$Disquef0$\displaystyle \left(\vphantom{u,v}\right.$u, v$\displaystyle \left.\vphantom{u,v}\right)$ (2.68)

La nouvelle image ainsi obtenue est à bande limitée. Dans ce cas, le spectre est limité au disque de rayon f0 centré à l'origine. f0 est appelée fréquence radiale de coupure.

Marc Van Droogenbroeck. Tous droits réservés.
2003-09-30