2.7.2 Le processus d'échantillonnage

Considérons une fonction f$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$ connue pour tout x et y. Supposons que cette fonction soit échantillonnée uniformément de manière rectangulaire. Nous disposons ainsi d'une infinité d'échantillons de f$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$ espacés de $\Delta$x dans la direction de l'axe x et de $\Delta$y dans la direction de l'axe y. $\Delta$x et $\Delta$y sont appelées pas d'échantillonnage selon x et y respectivement. Les échantillons sont alors notés f$\left(\vphantom{i\Delta x,j\Delta y}\right.$i$\Delta$x, j$\Delta$y$\left.\vphantom{i\Delta x,j\Delta y}\right)$ où i et j sont des nombres entiers. ${\frac{{1}}{{\Delta x}}}$ et ${\frac{{1}}{{\Delta y}}}$ sont appelées fréquences d'échantillonnage selon x et y respectivement.

Introduisons à présent la fonction d'échantillonnage idéale définie par

$$\left(\vphantom{x,y}\right. \left.\vphantom{x,y}\right) \sum_{{i=-\infty}}^{{+\infty}} \sum_{{j=-\infty}}^{{+\infty}} \delta \left(\vphantom{x-i\Delta x,\, y-j\Delta y}\right. \Delta \Delta \left.\vphantom{x-i\Delta x,\, y-j\Delta y}\right)$$ (2.82)

et représentée à la figure 2.8.

Figure 2.8: Représentation de la fonction s$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$.

 

Établissons à présent le lien entre les échantillons f$\left(\vphantom{i\Delta x,\, j\Delta y}\right.$i$\Delta$x, j$\Delta$y$\left.\vphantom{i\Delta x,\, j\Delta y}\right)$ et la fonction d'échantillonnage idéale.

Définition 8   Nous définissons ainsi la fonction échantillonnée idéale

$$\left(\vphantom{x,y}\right. \left.\vphantom{x,y}\right) \sum_{{i=-\infty}}^{{+\infty}} \sum_{{j=-\infty}}^{{+\infty}} \left(\vphantom{i\Delta x,\, j\Delta y}\right. \Delta \Delta \left.\vphantom{i\Delta x,\, j\Delta y}\right) \delta \left(\vphantom{x-i\Delta x,\, y-j\Delta y}\right. \Delta \Delta \left.\vphantom{x-i\Delta x,\, y-j\Delta y}\right)$$ (2.83)

La fonction échantillonnée idéale est donc un réseau d'impulsions de DIRAC pondérées par la valeur de la fonction f$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$ évaluée aux droits d'échantillonnage.

Déterminons à présent la relation existant entre les transformées de FOURIER respectives de f_s$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$ et f$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$. Pour cela, nous partons de la relation 2.83 et nous utilisons les propriétés de la fonction de DIRAC

$$\left(\vphantom{x,y}\right. \left.\vphantom{x,y}\right) \sum_{{i=-\infty}}^{{+\infty}} \sum_{{j=-\infty}}^{{+\infty}} \left(\vphantom{x,y}\right. \left.\vphantom{x,y}\right) \delta \left(\vphantom{x-i\Delta x,\, y-j\Delta y}\right. \Delta \Delta \left.\vphantom{x-i\Delta x,\, y-j\Delta y}\right)$$ = (2.84)

$$\left(\vphantom{x,y}\right. \left.\vphantom{x,y}\right) \sum_{{i=-\infty}}^{{+\infty}} \sum_{{j=-\infty}}^{{+\infty}} \delta \left(\vphantom{x-i\Delta x,\, y-j\Delta y}\right. \Delta \Delta \left.\vphantom{x-i\Delta x,\, y-j\Delta y}\right)$$ = (2.85)

$$\left(\vphantom{x,y}\right. \left.\vphantom{x,y}\right) \left(\vphantom{x,y}\right. \left.\vphantom{x,y}\right)$$ = (2.86)

La fonction échantillonnée idéale est donc égale au produit de la fonction f$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$ et de la fonction d'échantillonnage idéale dans le domaine spatial. En utilisant la propriété de multiplication (relation 2.53) de la transformée de FOURIER, il vient

$$\left(\vphantom{x,y}\right. \left.\vphantom{x,y}\right) \rightleftharpoons \mathcal {F} \left(\vphantom{u,v}\right. \left.\vphantom{u,v}\right) \otimes \mathcal {S} \left(\vphantom{u,v}\right. \left.\vphantom{u,v}\right)$$ (2.87)

où $\mathcal {S}$$\left(\vphantom{u,v}\right.$u, v$\left.\vphantom{u,v}\right)$ est la transformée de FOURIER de la fonction d'échantillonnage idéale. Étant donné que

$$\sum_{{i=-\infty}}^{{+\infty}} \sum_{{j=-\infty}}^{{+\infty}} \delta \left(\vphantom{x-i\Delta x,\, y-j\Delta y}\right. \Delta \Delta \left.\vphantom{x-i\Delta x,\, y-j\Delta y}\right) \rightleftharpoons {\frac{{1}}{{\Delta x\Delta y}}} \sum_{{i=-\infty}}^{{+\infty}} \sum_{{j=-\infty}}^{{+\infty}} \delta \left(\vphantom{u-\frac{i}{\Delta x},v-\frac{j}{\Delta y}}\right. {\frac{{i}}{{\Delta x}}} {\frac{{j}}{{\Delta y}}} \left.\vphantom{u-\frac{i}{\Delta x},v-\frac{j}{\Delta y}}\right)$$ (2.88)

nous pouvons déterminer la transformée de FOURIER de f_s$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$

$$\mathcal {F} \left(\vphantom{u,v}\right. \left.\vphantom{u,v}\right) \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \mathcal {S} \left(\vphantom{\alpha,\beta}\right. \alpha \beta \left.\vphantom{\alpha,\beta}\right) \mathcal {F} \left(\vphantom{u-\alpha,v-\beta}\right. \alpha \beta \left.\vphantom{u-\alpha,v-\beta}\right) \alpha \beta$$ = (2.89)

$$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \left\{\vphantom{ \frac{1}{\Delta x\Delta y}\sum_{i=-\infty}^{+\i... ...y}\delta\left(\alpha-\frac{i}{\Delta x},\beta-\frac{j}{\Delta y}\right)}\right. {\frac{{1}}{{\Delta x\Delta y}}} \sum_{{i=-\infty}}^{{+\infty}} \sum_{{j=-\infty}}^{{+\infty}} \delta \left(\vphantom{\alpha-\frac{i}{\Delta x},\beta-\frac{j}{\Delta y}}\right. \alpha {\frac{{i}}{{\Delta x}}} \beta {\frac{{j}}{{\Delta y}}} \left.\vphantom{\alpha-\frac{i}{\Delta x},\beta-\frac{j}{\Delta y}}\right) \left.\vphantom{ \frac{1}{\Delta x\Delta y}\sum_{i=-\infty}^{+\in... ...}\delta\left(\alpha-\frac{i}{\Delta x},\beta-\frac{j}{\Delta y}\right)}\right\} \mathcal {F} \left(\vphantom{u-\alpha,v-\beta}\right. \alpha \beta \left.\vphantom{u-\alpha,v-\beta}\right) \alpha \beta$$ =

$${\frac{{1}}{{\Delta x\Delta y}}} \sum_{{i=-\infty}}^{{+\infty}} \sum_{{j=-\infty}}^{{+\infty}} \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \delta \left(\vphantom{\alpha-\frac{i}{\Delta x},\beta-\frac{j}{\Delta y}}\right. \alpha {\frac{{i}}{{\Delta x}}} \beta {\frac{{j}}{{\Delta y}}} \left.\vphantom{\alpha-\frac{i}{\Delta x},\beta-\frac{j}{\Delta y}}\right) \mathcal {F} \left(\vphantom{u-\alpha,v-\beta}\right. \alpha \beta \left.\vphantom{u-\alpha,v-\beta}\right) \alpha \beta$$ =

$${\frac{{1}}{{\Delta x\Delta y}}} \sum_{{i=-\infty}}^{{+\infty}} \sum_{{j=-\infty}}^{{+\infty}} \mathcal {F} \left(\vphantom{u-\frac{i}{\Delta x},v-\frac{j}{\Delta y}}\right. {\frac{{i}}{{\Delta x}}} {\frac{{j}}{{\Delta y}}} \left.\vphantom{u-\frac{i}{\Delta x},v-\frac{j}{\Delta y}}\right)$$ = (2.90)

Il vient finalement

$$\left(\vphantom{x,y}\right. \left.\vphantom{x,y}\right) \rightleftharpoons {\frac{{1}}{{\Delta x\Delta y}}} \sum_{{i=-\infty}}^{{+\infty}} \sum_{{j=-\infty}}^{{+\infty}} \mathcal {F} \left(\vphantom{u-\frac{i}{\Delta x},v-\frac{j}{\Delta y}}\right. {\frac{{i}}{{\Delta x}}} {\frac{{j}}{{\Delta y}}} \left.\vphantom{u-\frac{i}{\Delta x},v-\frac{j}{\Delta y}}\right)$$ (2.91)

Ce résultat est particulièrement intéressant: mis à part le facteur 1/$\Delta$x$\Delta$y, la transformée de FOURIER de la fonction échantillonnée f_s$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$ est obtenue par la répétition de celle de f$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$ à tous les multiples de la fréquence d'échantillonnage $\left(\vphantom{1/\Delta x,\,1/\Delta y}\right.$1/$\Delta$x, 1/$\Delta$y$\left.\vphantom{1/\Delta x,\,1/\Delta y}\right)$. Elle est donc périodique de période fondamentale $\left(\vphantom{1/\Delta x,\,1/\Delta y}\right.$1/$\Delta$x, 1/$\Delta$y$\left.\vphantom{1/\Delta x,\,1/\Delta y}\right)$.

Comme pour le cas des signaux unidimensionnels, il existe un théorème de SHANNON permettant d'éviter le recouvrement des copies du spectre occasionné par un sous-échantillonnage; ce phénomène porte le nom de repli de spectre ou d'aliasing. Afin d'illustrer ce théorème, considérons la fonction suivante

$$\left(\vphantom{x,y}\right. \left.\vphantom{x,y}\right) {\frac{{J_{1}\left(2\pi W\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}}{{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}}$$ (2.92)

dont nous savons que la transformée de FOURIER est la fonction disque de rayon W.

Supposons que g$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$ soit échantillonnée à la fréquence $\left(\vphantom{1/\Delta x,\,1/\Delta y}\right.$1/$\Delta$x, 1/$\Delta$y$\left.\vphantom{1/\Delta x,\,1/\Delta y}\right)$. La transformée de FOURIER de la fonction échantillonnée correspondante est représentée à la figure 2.9. Sur cette figure, on peut remarquer qu'il y a recouvrement du spectre dans la direction v mais pas dans la direction u.

Figure 2.9: Transformée de FOURIER de la fonction échantillonnée de g$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$ ( 1/$\Delta$x = 2, 5W et 1/$\Delta$y = 1, 5W).

 

Nous pouvons à présent énoncer le théorème de SHANNON. Soit u_max et v_max les fréquences maximales d'une fonction f$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$ dans les directions x et y respectivement. On suppose donc que l'image f$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$ est à bande limitée.

Théorème 9   Le théorème de SHANNON (aussi appelé critère de NYQUIST) dit que $\Delta$x et $\Delta$y doivent respecter les conditions suivantes

$${\frac{{1}}{{\Delta x}}} {\frac{{1}}{{\Delta y}}}$$ (2.93)

pour éviter tout repli de spectre.

Cependant, les images rencontrées dans la pratique sont rarement à bande limitée. Il y aura donc toujours du recouvrement lors de l'échantillonnage. Dès lors, on réalise couramment un filtrage passe-bas de l'image avant échantillonnage, par exemple en défocalisant légèrement l'objectif de la caméra d'acquisition.