Table des matières of 3.2 Passage d'une image dans un système linéaire

Comme dans le cas d'un système unidimensionnel, on peut interpréter l'action d'un opérateur bidimensionnel, linéaire et invariant en translation, comme un filtrage. Le problème général du filtrage bidimensionnel consiste à élaborer un filtre qui possède la réponse impulsionnelle voulue et qui soit réalisable efficacement.

Comme pour les signaux temporels, l'analyse de FOURIER sert d'outil pour l'étude des systèmes de traitement d'images. Tout d'abord, un système est linéaire si le principe de superposition est vérifié: si g₁ $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ et g₂ $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ sont les images de sortie du système relatives aux images d'entrée f₁ $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ et f₂ $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ , toute combinaison linéaire af₁ $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ + bf₂ $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ produit en sortie l'image ag₁ $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ + bg₂ $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ . Un filtre linéaire est un exemple important de système linéaire. Il est utilisé pour modifier le contenu spectral d'une image afin d'en retirer l'information recherchée.

Un filtre linéaire bidimensionnel est caractérisé par sa réponse impulsionnelle h $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ . L'image de sortie g $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ résulte du produit de convolution de la réponse impulsionnelle du filtre par l'image d'entrée f $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$

g $\displaystyle \left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\displaystyle \left.\vphantom{x,y}\right)$ = $\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$ $\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$ f $\displaystyle \left(\vphantom{\alpha,\beta}\right.$ $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ $\displaystyle \left.\vphantom{\alpha,\beta}\right)$ h $\displaystyle \left(\vphantom{x-\alpha,y-\beta}\right.$ x - $\displaystyle \alpha$ , y - $\displaystyle \beta$ $\displaystyle \left.\vphantom{x-\alpha,y-\beta}\right)$ d $\displaystyle \alpha$ d $\displaystyle \beta$

(3.7)

g $\displaystyle \left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\displaystyle \left.\vphantom{x,y}\right)$ = $\displaystyle \left(\vphantom{f\otimes h}\right.$ f $\displaystyle \otimes$ h $\displaystyle \left.\vphantom{f\otimes h}\right)$ $\displaystyle \left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\displaystyle \left.\vphantom{x,y}\right)$

(3.8)

Par la propriété de convolution de la transformée de FOURIER, nous pouvons encore écrire

$\displaystyle \mathcal {{G}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{u,v}\right.$ u, v $\displaystyle \left.\vphantom{u,v}\right)$ = $\displaystyle \mathcal {{H}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{u,v}\right.$ u, v $\displaystyle \left.\vphantom{u,v}\right)$ $\displaystyle \mathcal {{F}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{u,v}\right.$ u, v $\displaystyle \left.\vphantom{u,v}\right)$

(3.9)

La transformée de FOURIER de la réponse impulsionnelle du filtre, notée $\mathcal {{H}}$ $\left(\vphantom{u,v}\right.$ u, v $\left.\vphantom{u,v}\right)$ , est appelée fonction de transfert ou encore transmittance du filtre. La fonction de transfert étant, en général, une fonction à valeurs complexes de u et v, nous pouvons la réécrire sous la forme

$\displaystyle \mathcal {{H}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{u,v}\right.$ u, v $\displaystyle \left.\vphantom{u,v}\right)$ = $\displaystyle \left\Vert\vphantom{ {\mathcal{H}}\left(u,v\right)}\right.$ $\displaystyle \mathcal {H}$ $\displaystyle \left(\vphantom{u,v}\right.$ u, v $\displaystyle \left.\vphantom{u,v}\right)$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {\mathcal{H}}\left(u,v\right)}\right\Vert$ e^{ju, v}

(3.10)

Le module $\left\Vert\vphantom{ \mathcal{H}\left(u,v\right)}\right.$ $\mathcal {H}$ $\left(\vphantom{u,v}\right.$ u, v $\left.\vphantom{u,v}\right)$ $\left.\vphantom{ \mathcal{H}\left(u,v\right)}\right\Vert$ de la fonction de transfert est souvent appelée réponse en amplitude ou spectre ^3.3 tandis que $\beta$ $\left(\vphantom{u,v}\right.$ u, v $\left.\vphantom{u,v}\right)$ est souvent appelée réponse en phase.

3.2 Passage d'une image dans un système linéaire

Notes