Table des matières of 5.3.3 Exemples de filtres

5.3.3 Exemples de filtres

Le nombre de filtres différents que l'on obtient en composant deux filtres est assez limité. Pour créer de nouveaux filtres, on peut composer non plus deux filtres mais deux familles de filtres. Cette idée a donné naissance aux filtres alternés séquentiels.

5.3.3.1 Filtres alternés séquentiels

Les ouvertures suppriment les détails blancs sans modifier les parties sombres de l'image tandis que les fermetures font l'inverse. Les filtres alternés séquentiels (FAS) adoptent un comportement plus symétrique par une composition alternée d'ouvertures et de fermetures. On commence par choisir un petit élément structurant qui est élargi au fur et à mesure jusqu'à une certaine taille.

Soient $\gamma_{{i}}^{}$ ( $\phi_{{i}}^{}$ ) une ouverture (une fermeture) de taille i et I l'opérateur identité (i.e. I(f )= f). L'ordre entre ces opérations est le suivant:

$\displaystyle \forall$ i, j $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb {N}$ , i $\displaystyle \leq$ j, $\displaystyle \gamma_{{j}}^{}$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \gamma_{{i}}^{}$ $\displaystyle \leq$ I $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \phi_{{i}}^{}$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \phi_{{j}}^{}$ ,

(5.12)

On définit ensuite les opérateurs suivants pour toute valeur de i:

		m_i = $\displaystyle \gamma_{{i}}^{}$ $\displaystyle \phi_{{i}}^{}$ , r_i = $\displaystyle \phi_{{i}}^{}$ $\displaystyle \gamma_{{i}}^{}$ $\displaystyle \phi_{{i}}^{}$ ,
		n_i = $\displaystyle \phi_{{i}}^{}$ $\displaystyle \gamma_{{i}}^{}$ , s_i = $\displaystyle \gamma_{{i}}^{}$ $\displaystyle \phi_{{i}}^{}$ $\displaystyle \gamma_{{i}}^{}$ .

En vertu du théorème structurel (cf. théorème 48), ces opérateurs sont bien des filtres. Ils entrent dans la composition des filtres alternés séquentiels.

Définition 49 [Filtres alternés séquentiels] Pour tout i $\in$ $\mathbb {N}$ , les opérateurs suivants sont des filtres alternés séquentiels d'ordre i

M_i = m_im_i-1...m₂m₁		R_i = r_ir_i-1...r₂r₁	(5.13)
N_i = n_in_i-1...n₂n₁		S_i = s_is_i-1...s₂s₁	(5.14)

On peut montrer que M_i, N_i, R_i, S_i sont bien des filtres, c'est-à-dire croissants et idempotents. La loi d'absorption dit que si le filtrage le plus sévère a lieu après le filtrage le moins sévère, le résultat global du filtrage est égal à celui du filtrage sévère:

Propriété 50 [Loi d'absorption]

i $\displaystyle \leq$ j $\displaystyle \Rightarrow$ M_jM_i = M_j mais M_iM_j $\displaystyle \leq$ M_j

(5.15)

Les filtres alternés séquentiels sont très utiles pour l'étude des signaux bruités. On peut analyser le comportement du filtre sur la figure 5.6 dont l'image (a) de départ est fortement bruitée. Nous avons choisi un opérateur qui fait l'union de deux ouvertures obtenues avec des éléments structurants linéaires horizontaux et verticaux; la fermeture est l'intersection des fermetures par ces mêmes éléments structurants (cf. règles de construction de filtres à la page

). Les images 5.6.(b) à 5.6.(d) montrent les étapes successives du filtre M_i et les images 5.6.(f) à 5.6.(h) celles de N_i. Pour la comparaison, nous avons également fourni l'image débruitée avec un filtre médian défini une fenêtre 5×5.

Figure 5.6: Utilisation de filtres alternés séquentiels pour supprimer le bruit.


(a) Image originale f		(e) Médian 5×5


(b) M₁(f )		(f) N₁(f )


(c) M₂(f )		(g) N₂(f )


(d) M₃(f )		(h) N₃(f )

5.3.3.2 Toggle mappings

Dans le but de créer d'autres filtres sans composition, considérons que nous disposons d'une famille de primitives et d'un critère tel que la sortie du filtre soit toujours l'une des valeurs de ces primitives. En général, la loi de choix de la primitive en question est fondé sur le supremum ou l'infimum, mais on peut trouver des critères plus complexes: c'est le toggle mapping.

Le centre morphologique est un exemple typique de toggle mapping.

Définition 51 [Centre morphologique] Soit $\psi_{{i}}^{}$ une famille d'opérateurs. Le centre morphologique $\beta$ de la fonction f pour la famille $\psi_{{i}}^{}$ est défini en chaque x du domaine de définition de f de la manière suivante

$\displaystyle \beta$ (f )(x) = (f (x) $\displaystyle \vee$ ( $\displaystyle \bigwedge_{{i}}^{}$ $\displaystyle \psi_{{i}}^{}$ (x))) $\displaystyle \wedge$ ( $\displaystyle \bigvee_{{i}}^{}$ $\displaystyle \psi_{{i}}^{}$ (x))

(5.16)

Si toutes les fonctions de la famille indiquent un écart vers le haut ou vers le bas par rapport à la fonction de départ, le centre choisit de prendre la valeur la plus proche de f. Par contre si, pour certaines valeurs de x, les fonctions sont tantôt inférieures tantôt supérieures à f, le centre sélectionne l'original. En fait, dans le cas de trois fonctions, le centre choisit systématiquement la courbe centrale.

En général, le centre n'est pas idempotent mais si toutes les fonctions $\psi_{{i}}^{}$ sont croissantes, elles transmettent cette propriété au centre. De plus, si $\psi_{{1}}^{}$ et $\psi_{{2}}^{}$ sont des transformations duales, $\beta$ est auto-dual, ce qui signifie que

$\displaystyle \beta$ (f^c) = ( $\displaystyle \beta$ (f ))^c

(5.17)

où f^c(x) = constante - f (x).

L'auto-dualité assure que le blanc et le noir de l'image sont traités exactement de la même manière.

Prendre pour fonctions $\psi_{{1}}^{}$ et $\psi_{{2}}^{}$ une ouverture et une fermeture n'a aucun intérêt puisque le centre serait toujours égal à la fonction en vertu de leur propriété d'anti-extensivité et d'extensivité respective. On prendra plutôt l'opérateur $\gamma$ $\phi$ $\gamma$ et son dual $\phi$ $\gamma$ $\phi$ .

L'action du centre morphologique est illustrée à la figure 5.7 pour un signal unidimensionnel. Si toutes les fonctions de la famille indiquent un écart vers le haut ou vers le bas par rapport à la fonction de départ, le centre choisit de prendre la valeur la plus proche de f. Par contre si, pour certaines valeurs de x, les fonctions sont tantôt inférieures tantôt supérieures à f, le centre sélectionne l'original.

**Figure 5.7:** Centre morphologique d'un signal unidimensionnel.