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4.4.3 Modulation en quadrature de phase à décalage (Offset Quadrature Phase Shift Keying)

4.4.3.1 Description

La modulation OQPSK est une version ``à décalage'' de la modulation QPSK. C'est donc une modulation PSK-4 et le diagramme de constellations (figure 4.2) reste d'application. La différence essentielle réside dans la formation des composantes en phase et en quadrature du signal modulé.

Considérons une source binaire fournissant le train d'impulsions suivant

I(t) = $\displaystyle \sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}}$Ik $\displaystyle \delta$(t - kTb) (4.85)

où Ik = + 1 représente l'information binaire 1 et Ik = - 1 correspond à l'information binaire 0. Le débit binaire est égal à Rb = 1/Tb . À partir de la séquence I(t) , les composantes en phase sI(t) et en quadrature sQ(t) sont formées de la manière suivante
sI(t) = $\displaystyle {\frac{{A}}{{\sqrt{2}}}}$$\displaystyle \sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}}$I2k g$\displaystyle \left(\vphantom{t-2kT_{b}}\right.$t - 2kTb$\displaystyle \left.\vphantom{t-2kT_{b}}\right)$ = $\displaystyle \sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}}$A2k $\displaystyle \left(\vphantom{-1}\right.$ -1$\displaystyle \left.\vphantom{-1}\right)^{{k}}_{}$ g$\displaystyle \left(\vphantom{t-2kT_{b}}\right.$t - 2kTb$\displaystyle \left.\vphantom{t-2kT_{b}}\right)$ (4.86)
sQ(t) = $\displaystyle {\frac{{A}}{{\sqrt{2}}}}$$\displaystyle \sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}}$I2k+1 g$\displaystyle \left(\vphantom{t-\left(2k+1\right)T_{b}}\right.$t - $\displaystyle \left(\vphantom{2k+1}\right.$2k + 1$\displaystyle \left.\vphantom{2k+1}\right)$Tb$\displaystyle \left.\vphantom{t-\left(2k+1\right)T_{b}}\right)$ = $\displaystyle \sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}}$A2k+1 $\displaystyle \left(\vphantom{-1}\right.$ -1$\displaystyle \left.\vphantom{-1}\right)^{{k}}_{}$ g$\displaystyle \left(\vphantom{t-\left(2k+1\right)T_{b}}\right.$t - $\displaystyle \left(\vphantom{2k+1}\right.$2k + 1$\displaystyle \left.\vphantom{2k+1}\right)$Tb$\displaystyle \left.\vphantom{t-\left(2k+1\right)T_{b}}\right)$  

où g(t) est une impulsion de mise en forme de durée T = 2Tb , A2k = $ \left(\vphantom{-1}\right.$ -1$ \left.\vphantom{-1}\right)^{{k}}_{}$I2k$ {\frac{{A}}{{\sqrt{2}}}}$ et A2k+1 = $ \left(\vphantom{-1}\right.$ -1$ \left.\vphantom{-1}\right)^{{k}}_{}$I2k+1$ {\frac{{A}}{{\sqrt{2}}}}$ , $ \forall$k . Ces deux séquences correspondent respectivement aux bits pairs et impairs de la séquence de départ. La composante en phase sI(t) est la même pour la modulation OQPSK et la modulation QPSK. Par contre, la composante en quadrature SQ(t) est décalée de Tb par rapport à la modulation QPSK. La figure 4.7 illustre la formation de ces séquences pour un signal de mise en forme égal à

g(t) = rect[0, T]$\displaystyle \left(\vphantom{t}\right.$t$\displaystyle \left.\vphantom{t}\right)$ = rect[0, 2Tb]$\displaystyle \left(\vphantom{t}\right.$t$\displaystyle \left.\vphantom{t}\right)$ (4.87)

qui correspond à modulation OQPSK classique.

Figure 4.7: Formation des composantes en phase et en quadrature pour la modulation OQPSK (avec une mise en forme par un signal rectangulaire).
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Il est maintenant nettement moins évident de calculer l'enveloppe et la phase instantanée du signal modulé, cela à cause du ``chevauchement'' entre les impulsions de sI(t) et sQ(t) . En toute généralité, nous pouvons écrire

a(t) = $\displaystyle \sqrt{{s_{I}^{2}(t)+s_{Q}^{2}(t)}}$ (4.88)

pour l'enveloppe instantanée et

$\displaystyle \varphi$(t) = arctan$\displaystyle \left[\vphantom{\frac{s_{Q}(t)}{s_{I}(t)}}\right.$$\displaystyle {\frac{{s_{Q}(t)}}{{s_{I}(t)}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{s_{Q}(t)}{s_{I}(t)}}\right]$ (4.89)

pour la phase instantanée. En observant la figure 4.7, nous pouvons déduire que l'enveloppe du signal modulé est constante, sauf peut-être aux transitions des signaux sI(t) et sQ(t) , c'est-à-dire toutes les Tb secondes. La phase, quant à elle, varie toujours par paliers; pour s'en convaincre, il suffit à nouveau de se référer au plan de constellations de la figure 4.2. Deux différences essentielles sont cependant à remarquer. Tout d'abord, la phase ne change plus de valeur toutes les T = 2Tb secondes comme dans la modulation QPSK mais bien toutes les Tb secondes. De plus, il n'y a plus, à chaque transition de la phase, qu'un saut de $ \pm$$ {\frac{{\pi}}{{2}}}$ . Le fait de décaler la séquence sI(t) a fait disparaître les transitions de $ \pm$$ \pi$ . En effet, dans la modulation QPSK, les transitions de $ \pm$$ \pi$ étaient dues aux transitions simultanées des signaux sI(t) et sQ(t) . Dans la modulation OQPSK, ces deux signaux ne varient jamais en même temps. Les transitions possibles sont représentées en pointillés sur la figure 4.8. Celles-ci ne se faisant plus qu'horizontalement ou verticalement, l'enveloppe du signal modulé ne peut donc plus s'annuler, ce qui est un gros avantage de la modulation OQPSK par rapport à la modulation QPSK.

La figure 4.9 montre un signal modulé OQPSK pour une séquence binaire donnée.

Figure 4.8: Diagramme de constellations pour la modulation OQPSK.
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Figure: Illustration de la modulation OQPSK: (a) séquence binaire I(t) , (b) sI(t) , (c) sQ(t) , (d)  sI(t) cos$ \left(\vphantom{2\pi f_{c}t}\right.$2$ \pi$fct$ \left.\vphantom{2\pi f_{c}t}\right)$ , (e) sQ(t) sin$ \left(\vphantom{2\pi f_{c}t}\right.$2$ \pi$fct$ \left.\vphantom{2\pi f_{c}t}\right)$ et (f) signal modulé s(t) .
\includegraphics[width=13cm]{images/oqpsk}

4.4.3.2 Modulateur et démodulateur OQPSK

Les circuits de modulation et de démodulation pour l'OQPSK sont tout à fait semblables à ceux utilisés pour le QPSK, mis à part un délai de Tb qu'il faut introduire dans la branche en quadrature des circuits.

4.4.3.3 Densité spectrale de puissance

L'enveloppe complexe du signal modulé est donnée par

es(t) = $\displaystyle \sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}}$Ak g(t - kTb) ejk$\scriptstyle {\frac{{\pi}}{{2}}}$ (4.90)

où le signal de mise en forme g(t) et la variable aléatoire Ak valent respectivement
g(t) = rect[0, 2Tb]$\displaystyle \left(\vphantom{t}\right.$t$\displaystyle \left.\vphantom{t}\right)$ (4.91)
Ak $\displaystyle \in$ $\displaystyle \left\{\vphantom{ +\frac{A}{\sqrt{2}},-\frac{A}{\sqrt{2}}}\right.$ + $\displaystyle {\frac{{A}}{{\sqrt{2}}}}$, - $\displaystyle {\frac{{A}}{{\sqrt{2}}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ +\frac{A}{\sqrt{2}},-\frac{A}{\sqrt{2}}}\right\}$ (4.92)

Nous faisons à nouveau l'hypothèse que les deux valeurs possibles pour Ak sont équiprobables. La moyenne $ \mu_{{A}}^{}$ est donc nulle et la variance est égale à $ \sigma_{{A}}^{{2}}$ = E$ \left\{\vphantom{ A_{k}^{2}}\right.$Ak2$ \left.\vphantom{ A_{k}^{2}}\right\}$ = $ {\frac{{A^{2}}}{{2}}}$ . Il vient après calcul de la transformée de FOURIER du signal de mise en forme $ \mathcal {H}$(f )= $ \mathcal {G}$$ \left(\vphantom{f+\frac{1}{4T_{b}}}\right.$f + $ {\frac{{1}}{{4T_{b}}}}$$ \left.\vphantom{f+\frac{1}{4T_{b}}}\right)$ ,

$\displaystyle \gamma_{{v}}^{}$(f )= 2A2Tb sinc2$\displaystyle \left[\vphantom{\left(f+\frac{1}{4T_{b}}\right)2T_{b}}\right.$$\displaystyle \left(\vphantom{f+\frac{1}{4T_{b}}}\right.$f + $\displaystyle {\frac{{1}}{{4T_{b}}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{f+\frac{1}{4T_{b}}}\right)$2Tb$\displaystyle \left.\vphantom{\left(f+\frac{1}{4T_{b}}\right)2T_{b}}\right]$ (4.93)

Conformément à la relation (4.78), la densité spectrale de puissance d'un signal modulé en OQPSK s'exprime donc finalement par

$\displaystyle \gamma_{{s}}^{}$(f )= $\displaystyle {\frac{{A^{2}T_{b}}}{{2}}}$$\displaystyle \left\{\vphantom{ sinc^{2}\left[\left(f-f_{c}\right)2T_{b}\right]+sinc^{2}\left[\left(f+f_{c}\right)2T_{b}\right]}\right.$sinc2$\displaystyle \left[\vphantom{\left(f-f_{c}\right)2T_{b}}\right.$$\displaystyle \left(\vphantom{f-f_{c}}\right.$f - fc$\displaystyle \left.\vphantom{f-f_{c}}\right)$2Tb$\displaystyle \left.\vphantom{\left(f-f_{c}\right)2T_{b}}\right]$ + sinc2$\displaystyle \left[\vphantom{\left(f+f_{c}\right)2T_{b}}\right.$$\displaystyle \left(\vphantom{f+f_{c}}\right.$f + fc$\displaystyle \left.\vphantom{f+f_{c}}\right)$2Tb$\displaystyle \left.\vphantom{\left(f+f_{c}\right)2T_{b}}\right]$$\displaystyle \left.\vphantom{ sinc^{2}\left[\left(f-f_{c}\right)2T_{b}\right]+sinc^{2}\left[\left(f+f_{c}\right)2T_{b}\right]}\right\}$ (4.94)

et est exactement identique à celle d'un signal modulé QPSK.

Marc Van Droogenbroeck. Tous droits réservés.
2007-10-27