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11.3.2 La méthode directe de FOURIER

La méthode directe de FOURIER correspond à une implémentation directe de la formule suivante, connue sous l'appellation théorème du profil central:

( $\displaystyle \mathcal {F}$ ₁g)( $\displaystyle \theta$ , $\displaystyle \sigma$ ) = ( $\displaystyle \mathcal {F}$ ₂f )( $\displaystyle \sigma$ cos $\displaystyle \theta$ , $\displaystyle \sigma$ sin $\displaystyle \theta$ )

(11.3)

ou encore

( $\displaystyle \mathcal {F}$ ₁g)( $\displaystyle \theta$ , $\displaystyle \sigma$ ) = ( $\displaystyle \mathcal {F}$ ₂f )( $\displaystyle \sigma$ $\displaystyle \vec{{\theta}}\,$ )

(11.4)

si l'on utilise des notations vectorielles. Dans cette formule, ( $\mathcal {F}$ ₁g)( $\theta$ , $\sigma$ ) représente la transformée de FOURIER de g( $\theta$ , s) par rapport à s, i.e.

( $\displaystyle \mathcal {F}$ ₁g)( $\displaystyle \theta$ , $\displaystyle \sigma$ ) = $\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$ ds e^-2js g( $\displaystyle \theta$ , s)

(11.5)

tandis que ( $\mathcal {F}$ ₂f )( $\sigma$ $\vec{{\theta}}\,$ ) est la transformée de FOURIER 2D de f $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ évaluée en $\vec{{X}}\,$ = $\sigma$ $\vec{{\theta}}\,$

( $\displaystyle \mathcal {F}$ ₂f )(X, Y) = $\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$ dx $\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$ dy e^-2jxX e^-2jyY f (x, y) = $\displaystyle \int_{{\mathbb{R}^{2}}}^{}$ d $\displaystyle \overrightarrow{x}$ e^-2j f ( $\displaystyle \overrightarrow{X}$ ) = ( $\displaystyle \mathcal {F}$ ₂f )( $\displaystyle \overrightarrow{X}$ )

avec $\vec{{X}}\,$ = $\left(\vphantom{X,Y}\right.$ X, Y $\left.\vphantom{X,Y}\right)$ .

Le théorème du profil central peut se lire comme suit.

Théorème 83 [Théorème du profil central] La transformée de FOURIER de la projection de f $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ à l'angle $\theta$ est identique à la transformée de FOURIER 2D de f $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ le long de la droite de direction $\vec{{\theta}}\,$ qui passe par l'origine dans le domaine fréquentiel de f $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ .

La figure 11.10 illustre la situation.

**Figure 11.10:** Illustration du théorème du profil central.

Pour démontrer ce théorème, il faut tout d'abord remplacer g $\left(\vphantom{\theta,s}\right.$ $\theta$ , s $\left.\vphantom{\theta,s}\right)$ par sa définition dans l'expression de (F₁g)( $\theta$ , $\sigma$ ) pour obtenir la relation

( $\displaystyle \mathcal {F}$ ₁g)( $\displaystyle \theta$ , $\displaystyle \sigma$ ) = $\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$ ds e^-2js $\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$ dt f (s $\displaystyle \vec{{\theta}}\,$ + t $\displaystyle \vec{{\theta}}^{{\perp}}_{}$ ).

(11.6)

Ensuite, on effectue le changement de variables $\vec{{x}}\,$ = s $\vec{{\theta}}\,$ + t $\vec{{\theta}}^{{\perp}}_{}$ , avec $\theta$ fixé. Notant que s = $\vec{{x}}\,$ . $\vec{{\theta}}\,$ et que ce changement de variables est orthogonal, on trouve le résultat annoncé:

( $\displaystyle \mathcal {F}$ ₁g)( $\displaystyle \theta$ , $\displaystyle \sigma$ ) = $\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$ dx $\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$ dy e^-2j(.) f ( $\displaystyle \vec{{x}}\,$ ) = ( $\displaystyle \mathcal {F}$ ₂f )( $\displaystyle \vec{{X}}\,$ = $\displaystyle \sigma$ $\displaystyle \vec{{\theta}}\,$ )

(11.7)

Le théorème du profil central nous apprend que la reconstruction de f $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ à partir de ses intégrales de lignes est uniquement possible lorsque les projections de f $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ sont connues pour tout angle $\theta$ situé dans un intervalle angulaire de longueur $\pi$ . Lorsque cette condition n'est pas satisfaite, il est impossible d'obtenir ( $\mathcal {F}$ ₂f )( $\vec{{X}}\,$ ) en tout point $\vec{{X}}\,$ , et donc impossible de reconstruire f $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ , vu que la relation entre f $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ et sa transformée de FOURIER est biunivoque.

Lorsque les projections de f $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ sont connues sur un intervalle angulaire de longueur $\pi$ , il est possible de reconstruire f $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ comme expliqué à la figure 11.11.

**Figure 11.11:** Méthode directe de FOURIER.

Il s'agit de la méthode directe de FOURIER qui peut se résumer comme suit:

Calcul de la transformée de FOURIER 1D des projections par FFT pour obtenir les échantillons de la transformée de FOURIER 2D de f $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ sur une grille circulaire.
Interpolation 2D pour obtenir des échantillons de la transformée de FOURIER 2D de f $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ sur une grille rectangulaire.
Calcul de f $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ par inversion de FOURIER 2D rapide (FFT 2D).

Concrètement, la méthode directe de FOURIER est très difficile à implémenter de façon numériquement stable. Il faut faire face à deux problèmes. Tout d'abord, on observe que l'interpolation 2D ne peut se faire avec la même précision partout. Ensuite, on note qu'il est impossible de reproduire le repli de spectre correspondant à un calcul inverse approprié de ( $\mathcal {F}$ ₂f )( $\vec{{X}}\,$ ) à partir des échantillons de ( $\mathcal {F}$ ₂f )( $\sigma$ $\vec{{\theta}}\,$ ). Ces deux problèmes conduisent généralement à de nombreux problèmes de repli de spectre au sein des reconstructions, à moins que l'on utilise des techniques d'interpolation très sophistiquées.

La méthode directe de FOURIER présente par rapport aux autres méthodes analytiques l'avantage d'être potentiellement plus rapide. Supposons que l'on ait collecté N projections avec N_s mesures par projection pour reconstruire f $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ sur une grille de Q×Q pixels. On peut montrer que le nombre d'opérations requis pour la méthode directe de FOURIER est O $\left(\vphantom{N_{\theta}\, N_{s}\,\log N_{s}}\right.$ N N_s log N_s $\left.\vphantom{N_{\theta}\, N_{s}\,\log N_{s}}\right)$ + O $\left(\vphantom{2Q^{2}\log Q}\right.$ 2Q²log Q $\left.\vphantom{2Q^{2}\log Q}\right)$ , c'est-à-dire O $\left(\vphantom{M^{2}\log M}\right.$ M²log M $\left.\vphantom{M^{2}\log M}\right)$ si N $\simeq$ N_s $\simeq$ Q = M, tandis que le nombre d'opérations pour la méthode de rétroprojection des projections filtrées expliquée à la section 11.3.4 est O $\left(\vphantom{N_{\theta}\, N_{s}\,\log N_{s}}\right.$ N N_s log N_s $\left.\vphantom{N_{\theta}\, N_{s}\,\log N_{s}}\right)$ + O $\left(\vphantom{N_{\theta}Q^{2}}\right.$ NQ² $\left.\vphantom{N_{\theta}Q^{2}}\right)$ = O $\left(\vphantom{M^{3}}\right.$ M³ $\left.\vphantom{M^{3}}\right)$ .

En général, la résolution accessible pour la reconstruction de f $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ est déterminée par la résolution des projections. Lorsque les projections sont échantillonnées avec un pas $\Delta$ s, on ne peut pas espérer une meilleure résolution d'image que $\Delta$ x = $\Delta$ y = $\Delta$ s. Pour atteindre cette résolution, l'échantillonnage angulaire doit être tel que R $\Delta$ $\theta$ = $\Delta$ s, si R représente le rayon de l'image. Il faut donc choisir N = $\pi$ /2 N_s si $\Delta$ $\theta$ = $\pi$ /N et $\Delta$ s = 2R/N_s. Cette condition revient à donner une forme presque carrée au plus grand pixel de la grille circulaire illustrant les mesures à la figure 11.6.